留数定理

留数定理计算解析函数沿闭合曲线的积分，是柯西积分定理与柯西积分公式的推论，尤其适用于积分路径内有奇点的情况。

定义

如果复函数 $f(z)$ 在某闭合路径 $\gamma$ 内部的所有点上都解析，除了有限个奇点 $z_1, z_2, ..., z_n$，那么沿这个闭合路径 $\gamma$ 的积分可以通过以下公式计算：

$$\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)$$

其中 $\text{Res}(f, z_k)$ 是函数 $f(z)$ 在点 $z_k$ 处的留数。

应用

留数定理的一个常见应用是计算复平面上的积分，特别是当积分路径围绕一个或多个奇点时。此外，留数定理也可以应用于计算实数积分，特别是那些难以用传统方法求解的积分。

示例

计算 $\displaystyle\int_{|z|=3} \frac{z+1}{z^2+4}\,dz$。

$f(z)=\dfrac{z+1}{z^2+4}=\dfrac{z+1}{(z-2i)(z+2i)}$，奇点为 $z=\pm 2i$，均为简单极点。若取路径 $|z|=2$，奇点恰好落在路径上，此时留数定理不能直接使用（需改用主值积分或小圆弧绕行处理）；简便做法是扩大路径，使全部奇点严格位于路径内部，如 $|z|=3$。留数按 $\operatorname{Res}(f,z_k)=\lim_{z\to z_k}(z-z_k)f(z)$ 计算：

• $z=2i$：$\operatorname{Res}(f,2i)=\dfrac{2i+1}{4i}=\dfrac12-\dfrac14 i$
• $z=-2i$：$\operatorname{Res}(f,-2i)=\dfrac{-2i+1}{-4i}=\dfrac12+\dfrac14 i$

由留数定理：

$$\int_{|z|=3} \frac{z+1}{z^2+4} \, dz = 2\pi i\left(\frac12-\frac14 i + \frac12+\frac14 i\right) = 2\pi i$$