辐角原理

设 $f$ 在简单闭曲线 $C$ 内部除有限个极点外解析，且在 $C$ 上无零点也无极点，则

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = N - P$$

其中 $N$ 为 $C$ 内部零点的个数（按重数计），$P$ 为极点的个数（按阶数计）。

对数留数

被积函数 $\dfrac{f'(z)}{f(z)}$ 是对数导数 $(\ln f)'$，其围道积分称为对数留数。

几何意义

由 $w = f(z)$ 换元，$\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f'(z)}{f(z)}dz = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{f(C)}\dfrac{dw}{w}$，即 $f(C)$ 绕原点的圈数（winding number）。因此辐角原理说的是：$f$ 把 $C$ 映成的闭曲线绕原点转的圈数，正好等于 $C$ 内"零点个数减极点个数"。

示例

$f(z) = z^3 + 2z$ 在 $|z| < 2$ 内无极点（$P=0$），零点为 $z = 0,\ \pm\sqrt{2}i$ 共 3 个（$N=3$），故

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=2}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 3$$

应用

辐角原理常用于判定方程在给定区域内的零点个数，常与Rouché定理配合使用。