复积分

复变函数沿曲线的积分通过参数化归结为实积分。设 $f(z)$ 沿逐段光滑曲线 $C:\ z = z(t),\ a\le t\le b$ 连续，则

$$\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt$$

性质

• 线性：$\int_C (\alpha f + \beta g)\,dz = \alpha\int_C f\,dz + \beta\int_C g\,dz$。
• 方向：$\int_{C^-} f(z)\,dz = -\int_C f(z)\,dz$（$C^-$ 为 $C$ 的反向曲线）。
• 可加性：若 $C = C_1 + C_2$，则积分沿两段相加。
• ML 不等式：若 $|f(z)| \le M$ 且 $C$ 的长度为 $L$，则 $\left|\int_C f(z)\,dz\right| \le ML$。

计算示例

$$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}\,ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi}dt = 2\pi i$$

此积分不为零，说明柯西积分定理的单连通条件是必要的，同时也是柯西积分公式与留数定理的起点。