留数

留数刻画函数在孤立奇点附近的行为，是洛朗级数展开中 $(z-z_0)^{-1}$ 项的系数，也是留数定理的核心量。

定义

设 $z_0$ 是 $f(z)$ 的孤立奇点，$f(z)$ 在去心邻域内的洛朗级数为

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$

则系数 $a_{-1}$ 称为 $f$ 在 $z_0$ 处的留数，记作 $\operatorname{Res}(f, z_0)$。

极点处留数的计算

若 $z_0$ 是 $f$ 的 $m$ 阶极点，则

$$\operatorname{Res}(f, z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]$$

• 一阶极点（$m=1$）：

$$\operatorname{Res}(f, z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$

• 二阶极点（$m=2$）：

$$\operatorname{Res}(f, z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\left[(z-z_0)^2 f(z)\right]$$

简单极点的比值公式

若 $f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)}$，其中 $g,h$ 在 $z_0$ 解析，$g(z_0)\neq 0$，$h(z_0)=0$，$h'(z_0)\neq 0$，则 $z_0$ 是 $f$ 的简单极点，且

$$\operatorname{Res}(f, z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$$

示例

$f(z)=\dfrac{1}{z^2+1}$ 在 $z=i$ 处的留数。取 $g=1$，$h=z^2+1$，$h'(z)=2z$，则

$$\operatorname{Res}(f, i)=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}$$