拉普拉斯变换

拉普拉斯变换把定义在 $t\ge 0$ 的函数 $f(t)$ 映为复变量 $s$ 的函数 $F(s)$，将时间方向的微分、积分运算化为 $s$ 域代数运算，是求解偏微分方程与常微分方程的积分变换法核心工具。需先掌握反常积分、指数阶函数与卷积。

定义

对满足存在条件的函数 $f(t)$（$t\ge 0$），其（单边）拉普拉斯变换为

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt$$

其中 $s$ 为复变量，$F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)$ 称为像函数。若 $f$ 分段连续且为指数阶（存在 $M,c$ 使 $|f(t)|\le M e^{ct}$），则积分在收敛半平面 $\Re(s)>c$ 内绝对收敛。

对因果信号（$t<0$ 时 $f(t)=0$），取 $s=\sigma+i\omega$ 时 $\mathcal{L}\{f\}(s)$ 正是 $f(t)e^{-\sigma t}$ 的傅里叶变换，即带指数衰减权重的傅里叶变换，因而能处理增长型函数。

性质

• 线性：$\mathcal{L}\{af+bg\}=aF+bG$
• 导数（核心）：$\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0^+)$，一般地

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^nF(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0^+)$$

• 积分：$\displaystyle\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}=\frac{F(s)}{s}$
• 卷积定理：$\mathcal{L}\{(f*g)(t)\}=F(s)G(s)$，其中 $(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ 为单边卷积
• 位移与伸缩：$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$；$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$（$a>0$）
• 初值/终值定理：$\displaystyle\lim_{t\to 0^+}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$，$\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to 0}sF(s)$（极限存在时）

常见变换

$f(t)$	$F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)$
$1$	$\dfrac{1}{s}$
$t^n$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\dfrac{1}{s-a}$
$\sin(at)$	$\dfrac{a}{s^2+a^2}$
$\cos(at)$	$\dfrac{s}{s^2+a^2}$

示例

解初值问题 $y''+y=1$，$y(0)=y'(0)=0$。两边取变换并代入初值：

$$(s^2+1)Y(s)=\frac{1}{s}\ \Rightarrow\ Y(s)=\frac{1}{s(s^2+1)}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}$$

查表逆变换得 $y(t)=1-\cos t$，直接验证 $y''+y=\cos t+1-\cos t=1$ 且满足初值。

在偏微分方程中的应用

对 $t$ 方向做拉普拉斯变换后，偏导数化为代数式（交换条件见拉普拉斯变换与偏导数的交换），PDE 化为以空间变量为自变量的常微分方程，解出像函数后再逆变换。以半无界热传导为例：$u_t=\kappa u_{xx}$（$x>0$），$u(x,0)=0$，$u(0,t)=f(t)$，$u$ 有界。对 $t$ 变换得 $U_{xx}=\frac{s}{\kappa}U$，有界性排除增长解，故

$$U(x,s)=F(s)\,e^{-x\sqrt{s/\kappa}}$$

其逆变换（与热核的卷积）给出 $u(x,t)$。此法与分离变量法同属求解方法的积分变换路线，尤其适合定义在半无界区域、初边值条件随时间给定的问题。

后续学习

逆变换的常用工具是部分分式展开与复积分（留数定理）；拉普拉斯变换在信号与系统、控制理论、积分方程求解中都有系统应用，是傅里叶变换在增长型与因果信号上的推广。