极点

在复分析中，极点是一种特殊的奇点，比一般奇点有更强的结构。

定义

定义

设函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某个去心邻域内解析。若存在正整数 $m$，使得

$$\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = L \neq 0$$

其中 $L$ 为有限复数，则称 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点（或 $m$ 级极点）。当 $m = 1$ 时称为简单极点。

等价定义

若 $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域内有洛朗级数

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$$

且存在正整数 $m$，使得 $a_{-m} \neq 0$，而对所有 $n > m$ 有 $a_{-n} = 0$，则称 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点。

Example

函数 $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$ 在 $z = 0$ 处有一个二阶极点。

性质

• 极点是孤立奇点的一种。
• 在极点附近，函数值趋于无穷大。
• 极点处的留数可由留数公式计算。