柯西积分定理

柯西积分定理说明，单连通区域内解析函数的闭合路径积分为零，即绕回起点的积分相互抵消。由它可以推出柯西积分公式与留数定理。

定理

设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内任意可求长的简单闭曲线，则

$$\oint_C f(z)\,dz = 0$$

等价表述

1. 闭合路径积分为零：$f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，沿 $D$ 内任意闭合曲线 $C$ 的积分为零。
2. 路径无关性：$f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则 $D$ 内从 $z_1$ 到 $z_2$ 的积分与路径无关，只取决于起点与终点。

单连通条件的必要性

单连通条件不可省略。例如 $f(z)=\dfrac{1}{z}$ 在环域 $0<|z|<2$ 内解析，但该区域不是单连通的，且

$$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}\,dz = 2\pi i \neq 0$$

可见闭合曲线必须位于单连通的解析区域内，"区域没有洞"是关键。

示例

计算 $\oint_{|z|=1} e^z\,dz$。因 $e^z$ 在整个复平面解析，$|z|=1$ 是单连通区域内的闭合曲线，故

$$\oint_{|z|=1} e^z\,dz = 0$$

推论

柯西积分定理保证解析函数积分的路径无关性，从而可定义解析函数的原函数，并由此推出柯西积分公式。