Rouché定理

设 $f$、$g$ 在简单闭曲线 $C$ 上及其内部解析，且在 $C$ 上满足

$$|g(z)| < |f(z)|$$

则 $f$ 与 $f+g$ 在 $C$ 内部有相同个数的零点（按重数计）。

证明思路

$C$ 上 $|g| < |f|$ 保证 $f$ 与 $f+g$ 在 $C$ 上均无零点，且 $\dfrac{f+g}{f} = 1+\dfrac{g}{f}$ 的像落在以 $1$ 为中心、半径小于 $1$ 的圆内，不绕原点。由辐角原理，两者的零点数之差为 $0$。

示例

方程 $z^4 + 5z + 1 = 0$ 在 $|z| < 1$ 内有几个根？

取 $f(z) = 5z$，$g(z) = z^4 + 1$。在 $|z| = 1$ 上 $|f| = 5$，$|g| \le |z|^4 + 1 = 2 < 5 = |f|$，故 $z^4 + 5z + 1$ 与 $5z$ 在单位圆内零点数相同。$5z$ 恰有一个零点 $z=0$，因此原方程在 $|z|<1$ 内恰有 1 个根。

应用：代数基本定理

$P(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_0$（$a_n \neq 0$）。取 $f = a_n z^n$，$g = P - f$，在充分大的圆 $|z| = R$ 上 $|g| = O(R^{n-1}) < |a_n|R^n = |f|$。故 $P$ 与 $a_n z^n$ 在 $|z| < R$ 内零点数相同（恰 $n$ 个，按重数计），$R$ 可任意大，代数基本定理得证。