奇异同调

同调群把"空间有多少个洞、洞在哪个维度"做成一族阿贝尔群 $H_n(X)$：$n=1$ 时它由基本群的交换化给出，$n\ge2$ 时捕捉更高维的洞，且比同伦群容易计算得多。

需先掌握同伦、自由阿贝尔群与商群；了解基本群作对照。

定义

奇异 $n$-单形是连续映射 $\sigma:\Delta^n\to X$，其中 $\Delta^n$ 为标准 $n$-单形（$\mathbb{R}^{n+1}$ 中 $e_0,\dots,e_n$ 的凸包）。$C_n(X)$ 为以全体奇异 $n$-单形为基的自由阿贝尔群。边缘算子 $\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ 满足 $\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$，故 $\operatorname{im}\partial_{n+1}\subseteq\ker\partial_n$。第 $n$ 个奇异同调群

$$H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}.$$

$\ker\partial_n$ 的元素称为 $n$-循环，$\operatorname{im}\partial_{n+1}$ 的元素称为 $n$-边缘。

性质

• 同调群是拓扑不变量，事实上是同伦不变量（同伦的映射诱导相同的同调同态）
• $H_0(X)\cong\bigoplus_{\text{道路分量}}\mathbb{Z}$；$H_n(\text{单点})=0$（$n\ge1$）
• Hurewicz 定理（一维）：$H_1(X)\cong\pi_1(X)^{\mathrm{ab}}$（基本群的交换化）
• 子空间 $A\subseteq X$ 给出长正合列 $\cdots\to H_n(A)\to H_n(X)\to H_n(X,A)\to H_{n-1}(A)\to\cdots$
• Mayer–Vietoris 序列：$X=U\cup V$ 时用 $U,V,U\cap V$ 的同调计算 $H_*(X)$
• 欧拉示性数：$\chi(X)=\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}H_n(X)$（有限 CW 复形）

示例

• $H_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$，$H_k(S^n)=0$（$k\ne n$）
• $H_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$（与 $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ 的交换化一致）
• $H_k(\mathbb{R}^n)=0$（$k\ge1$）；$H_0(\mathbb{R}^n)\cong\mathbb{Z}$
• $H_0(\text{两点空间})\cong\mathbb{Z}^2$

应用

奇异同调给出 Brouwer 不动点定理、Borsuk–Ulam 定理与 Jordan 曲线定理的代数证明；欧拉示性数统一了多面体公式 $V-E+F=2$，是上同调与 Poincaré 对偶的出发对象。