基本群

基本群是代数拓扑的第一个成功不变量：把空间中同一点为起止的闭路按同伦分类，等价类做成一个群，精确记录空间的一维"洞"。

需先掌握同伦、道路与道路连通。

定义

设 $X$ 为拓扑空间，$x_0\in X$。环路是以 $x_0$ 为起止点的连续映射 $f:I\to X$。环路在保持端点同伦下的等价类构成基本群

$$\pi_1(X,x_0)=\{[f]: f:I\to X \text{ 环路},\ f(0)=f(1)=x_0\},$$

群运算为拼接 $[f][g]=[f\cdot g]$（先走 $f$ 再走 $g$），单位元为常值环路，$[f]$ 的逆元为反向环路 $[f^{-1}]$（$f^{-1}(t)=f(1-t)$）。

性质

• $X$ 道路连通时，不同基点的基本群同构，可记作 $\pi_1(X)$
• 连续映射 $f:X\to Y$ 诱导群同态 $f_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,f(x_0))$；同伦的映射诱导相同的同态，故 $\pi_1$ 是同伦不变量
• Seifert–van Kampen 定理（简介）：$X=U\cup V$，$U,V,U\cap V$ 均为开且道路连通，则 $\pi_1(X)$ 是 $\pi_1(U)$ 与 $\pi_1(V)$ 沿 $\pi_1(U\cap V)$ 的融合积（amalgamated product）
• $\pi_1(X)=0$ 时称 $X$ 单连通；单连通空间中任何两条同端点的道路同伦

示例

• $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$：环路同伦类由绕 $S^1$ 的圈数（度）决定
• $\pi_1(\mathbb{R}^n)=0$：$\mathbb{R}^n$ 可缩，故单连通
• $\pi_1(S^2)=0$：$S^2$ 单连通
• $\pi_1(\mathbb{R}P^2)\cong\mathbb{Z}/2$：由二重覆盖 $S^2\to\mathbb{R}P^2$ 得到（见覆盖空间）
• 亏格 $g$ 的紧定向曲面（$g\ge1$）：$\pi_1$ 由 $2g$ 个生成元 $a_1,b_1,\dots,a_g,b_g$ 与一条关系 $[a_1,b_1]\cdots[a_g,b_g]=1$ 给出（曲面群，非自由群），其交换化 $H_1\cong\mathbb{Z}^{2g}$；$g=0$ 即 $S^2$ 时平凡

应用

基本群是覆盖空间分类定理与 Galois 对应的基础；用 $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ 可证 Brouwer 不动点定理与代数学基本定理；Hurewicz 定理把 $\pi_1$ 的交换化与奇异同调 $H_1$ 联系起来。