上同调

上同调是奇异同调的对偶版本：把链群对偶为余链群后取"上边缘"的商，得到一族群 $H^n(X;G)$。它比同调多出一个杯积乘法，能区分同调群相同而整体结构不同的空间。

需先掌握奇异同调与阿贝尔群的 $\operatorname{Hom}$ 对偶；熟悉 $\operatorname{Ext}$ 概念可加深理解（非必需）。

定义

固定系数阿贝尔群 $G$。$n$-余链是同态 $C_n(X)\to G$，全体记为 $C^n(X;G)=\operatorname{Hom}(C_n(X),G)$。上边缘算子 $\delta^n:C^n\to C^{n+1}$ 由 $\delta^n(\varphi)=\varphi\circ\partial_{n+1}$ 给出，满足 $\delta^{n+1}\circ\delta^n=0$。第 $n$ 个上同调群

$$H^n(X;G)=\ker\delta^n/\operatorname{im}\delta^{n-1}.$$

性质

• 万有系数定理：$0\to\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),G)\to H^n(X;G)\to\operatorname{Hom}(H_n(X),G)\to0$（分裂但不自然）
• 杯积 $\cup:H^p(X;G)\times H^q(X;G)\to H^{p+q}(X;G)$ 使 $H^*(X;G)=\bigoplus_n H^n(X;G)$ 成为分次环；$G$ 为域时是分次代数
• de Rham 定理：光滑流形 $M$ 上 $H^n_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^n(M;\mathbb{R})$（微分形式中闭模恰当）
• Poincaré 对偶：紧无边界可定向 $n$-流形 $M$ 有 $H^k(M)\cong H_{n-k}(M)$
• Künneth 公式：$H^*(X\times Y)\cong H^*(X)\otimes H^*(Y)$（适当有限性条件下）

示例

• $H^*(S^n;\mathbb{Z})$：仅 $n$ 次为 $\mathbb{Z}$，杯积平凡
• $H^*(\mathbb{R}P^2;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2[x]/(x^3)$，$\deg x=1$（$x$ 为 $H^1$ 的生成元）
• $H^*(S^1\times S^1;\mathbb{Z})$：由 $a,b\in H^1$ 生成，$a\cup b$ 生成 $H^2\cong\mathbb{Z}$

应用

上同调环是比同调更精细的不变量；在代数几何（层上同调与 Čech 上同调）、微分几何（de Rham 上同调与积分）及代数拓扑分类问题中广泛使用。