同伦群

同伦群是基本群的高维推广：用球面 $S^n$ 到空间的保基点映射的同伦类构成群 $\pi_n(X,x_0)$，记录空间各维度的"球面洞"，是比同调群更精细但更难计算的拓扑不变量。

需先掌握同伦与基本群；理解球面 $S^n$ 与方块 $I^n$。

定义

对 $n\ge1$，第 $n$ 个同伦群

$$\pi_n(X,x_0)=\{[(S^n,s_0)\to(X,x_0)]\},$$

即保基点映射 $f:(S^n,s_0)\to(X,x_0)$ 的保基点同伦类。等价地取 $f:(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$，群运算为沿第一个坐标拼接后粘合边界。

性质

• $\pi_1$ 可能非交换；$n\ge2$ 时 $\pi_n$ 必为阿贝尔群
• 同伦不变量：连续映射诱导群同态，同伦的映射诱导相同同态
• 纤维化长正合列：纤维化 $F\to E\to B$ 给出 $\cdots\to\pi_n(F)\to\pi_n(E)\to\pi_n(B)\to\pi_{n-1}(F)\to\cdots$
• Hurewicz 定理：$X$ 道路连通且 $\pi_k(X)=0$（$k<n$）时，$n\ge2$ 有 $\pi_n(X)\cong H_n(X)$（首次非零项与同调一致）
• 球面的高阶同伦群一般没有统一公式，是当代同伦论的难题

示例

• $\pi_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$；$\pi_k(S^n)=0$（$k<n$）
• $\pi_k(S^1)=0$（$k\ge2$）：$\mathbb{R}\to S^1$ 是万有覆盖（见覆盖空间）
• $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$：来自 Hopf 纤维化 $S^1\to S^3\to S^2$
• $\pi_{n+1}(S^n)\cong\mathbb{Z}/2$（$n\ge3$）：Freudenthal 悬挂定理的结果

应用

同伦群是同伦论与稳定同伦（$\pi_{n+k}(S^n)$ 的极限）的核心对象；配边理论、代数 $K$-理论及几何拓扑中的分类问题都依赖对同伦群的理解。