整环

整环刻画"能像整数一样消去因子"的环：没有零因子保证了 $ac=bc$ 时可由 $c\neq 0$ 推出 $a=b$。它是环与域之间的关键中间层，也是构造商域的前提。需先掌握环与域。

定义

设 $R$ 是交换含幺环。若 $R$ 中不存在零因子，即对任意 $a,b\in R$，

$$ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ 或 } b=0$$

则称 $R$ 为整环（integral domain）。

零因子：$a\neq 0$ 称为零因子，若存在 $b\neq 0$ 使 $ab=0$。整环就是"无零因子的交换含幺环"。

性质

• 消去律：$ac=bc$ 且 $c\neq 0$ $\Rightarrow$ $a=b$（由 $(a-b)c=0$ 与无零因子性）。
• 有限整环是域：对 $a\neq 0$，映射 $x\mapsto ax$ 因消去律是单射，有限集上单射即满射，故存在 $x$ 使 $ax=1$。
• 特征：使 $n\cdot 1=0$ 的最小正整数 $n$（不存在则为 $0$）；有限整环的特征必为素数。
• 域本身是整环；整环的子环仍是整环。

示例

• 整数环 $\mathbb{Z}$、高斯整数环 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 都是整环。
• 域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 是整环。
• $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 是整环但不是唯一分解整环。

应用

整环是构造商域（分式域）的前提：$\mathbb{Z}$ 的商域是 $\mathbb{Q}$。代数数论中代数整数环 $\mathcal{O}_K$ 是整环，Dedekind 整环进一步要求整闭与 Noether 性；有限整环必为域这一事实在有限域与编码理论中常用。