除环

除环是"乘法不一定交换的域"：每个非零元都有乘法逆元，但乘法交换律可以失败。它回答"做除法需要什么"——只需可逆性，不必交换。需先掌握环与群（$(R\setminus\{0\},\cdot)$ 构成群）。

定义

设 $R$ 是含幺环。若 $R$ 中每个非零元都有乘法逆元，即 $R\setminus\{0\}$ 关于乘法构成群，则称 $R$ 为除环（division ring），也称体。

域就是乘法交换的除环：域 $\iff$ 交换除环。

性质

• 除环无零因子：$a\neq 0$，$ab=0$ $\Rightarrow$ $b=a^{-1}(ab)=0$。
• Wedderburn 小定理：有限除环必为域（乘法自动交换）。
• 除环 $D$ 的中心 $Z(D)=\{z\in D:zd=dz\ \forall d\in D\}$ 是一个域。

示例

• 四元数体 $\mathbb{H}=\{a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}\}$ 是最典型的非交换除环。
• $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 是交换除环，即域。
• 矩阵环 $M_n(R)$（$n\ge 2$）不是除环——含有非零零因子。

应用

除环上的向量空间给出非交换的射影几何；森田等价中除环 $D$ 与 $M_n(D)$ 具有相同的表示理论。可除代数（division algebra）在代数和物理学（如四元数表示旋转）中持续出现。