商环

商环把环"按理想取模"：将理想 $I$ 的陪集 $r+I$ 作为元素得到新环 $R/I$，它压缩掉 $I$ 中的信息并保留其余结构。乘法良定义要求 $I$ 是理想，这解释了理想为什么是环论的核心对象。需先掌握理想与环。

定义

设 $I$ 是环 $R$ 的理想。在陪集集合

$$R/I=\{r+I:r\in R\}$$

上定义加法 $(r+I)+(s+I)=(r+s)+I$ 与乘法 $(r+I)(s+I)=rs+I$。因 $I$ 是理想（$rI,\,Ir\subseteq I$），运算良定义，$R/I$ 构成环，称为 $R$ 关于 $I$ 的商环。

性质

• 自然同态 $\pi:R\to R/I$，$r\mapsto r+I$ 是满同态，且 $\ker\pi=I$。
• $R/I$ 是整环 $\iff$ $I$ 是素理想；$R/I$ 是域 $\iff$ $I$ 是极大理想。
• 同态基本定理（环版本）：$\varphi:R\to S$ 是环同态 $\Rightarrow$ $R/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$。
• $R$ 交换时 $R/I$ 交换；$I=R$ 时 $R/I$ 是零环。

示例

• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$：$n$ 为素数时是域 $\mathbb{F}_p$，否则含零因子。
• $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{C}$：$x^2+1$ 不可约，商为域。
• $\mathbb{Z}[x]/(x)\cong\mathbb{Z}$。

应用

商环是环论基本定理的载体（同态基本定理、中国剩余定理 $R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J$ 当 $I+J=R$）；代数几何中仿射簇的坐标环是多项式环的商环；代数数论中 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ 是有限域。