多项式环

多项式环把"带余除法"移植到一般环上：给定系数环 $R$，形式表达式 $a_nx^n+\cdots+a_0$ 按多项式加法与乘法构成新环 $R[x]$。它是研究方程与扩域的代数对象，也是整环与域之间最重要的构造之一。需先掌握环与整环。

定义

设 $R$ 是环。$R[x]=\{\sum_{k=0}^n a_kx^k: a_k\in R,\ n\ge 0\}$，加法逐项相加，乘法按卷积

$$\Bigl(\sum_i a_ix^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_jx^j\Bigr)=\sum_k\Bigl(\sum_{i+j=k}a_ib_j\Bigr)x^k$$

$R[x]$ 称为 $R$ 上的多项式环。

性质

• $R$ 交换 $\Rightarrow$ $R[x]$ 交换；$R$ 含幺 $\Rightarrow$ $R[x]$ 含幺。
• $R$ 是整环 $\Rightarrow$ $R[x]$ 是整环，且 $\deg(fg)=\deg f+\deg g$。
• $F$ 是域 $\Rightarrow$ $F[x]$ 是欧几里得整环：带余除法 $f=gq+r$，$\deg r<\deg g$。从而 $F[x]$ 是主理想整环与唯一分解整环。
• 代入同态：$a\in R$ 时 $\mathrm{ev}_a:R[x]\to R$，$f\mapsto f(a)$ 是环同态；$R$ 为整环时 $f(a)=0 \iff (x-a)\mid f$（余数定理）。

示例

• $\mathbb{Z}[x]$ 是整环但不是主理想整环（$(2,x)$ 不是主理想）。
• $\mathbb{C}[x]$ 上每个非零多项式都可分解为一次因子的乘积（代数基本定理）；$\mathbb{R}[x]$ 上可分解为一次与不可约二次因子的乘积。

应用

多项式环是伽罗瓦理论的舞台：$F[x]$ 中的不可约多项式决定扩域与分裂域；代数几何中仿射空间 $\mathbb{A}^n$ 的坐标环就是 $k[x_1,\dots,x_n]$。商环 $F[x]/(f)$ 给出模 $f$ 的同余类结构，$\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{C}$ 是其典型实例。