代数整数环

数域中所有代数整数的集合构成一个环，称为代数整数环，记作 $\mathcal{O}_K$。它是数论与环论之间的主要接口。

定义

设 $K$ 是代数数域，$K$ 中全体代数整数构成 $K$ 的子环，称为 $K$ 的代数整数环，记作 $\mathcal{O}_K$。

性质

• $\mathcal{O}_K$ 的分式域是 $K$：每个 $\alpha\in K$ 可写成代数整数除以非零整数
• $\mathcal{O}_K$ 是 Dedekind 整环：整闭、Noether 整环，且每个非零素理想都是极大理想
• 作为 $\mathbb{Z}$-模，$\mathcal{O}_K$ 是自由 $\mathbb{Z}$-模，秩等于扩张次数 $[K:\mathbb{Q}]$（存在整基）

示例

• $K=\mathbb{Q}$：$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}$
• $K=\mathbb{Q}(\mathrm{i})$：$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$（高斯整数）
• $K=\mathbb{Q}(\sqrt5)$：$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}\!\left[\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right]$，注意不是 $\mathbb{Z}[\sqrt5]$——$\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ 是代数整数而不属于 $\mathbb{Z}[\sqrt5]$
• $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$：$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\omega]$（艾森斯坦整数），其中 $\omega = \dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ 是 $x^2+x+1$ 的根

单位

$\mathcal{O}_K$ 中的可逆元称为单位。对虚二次域，单位只有有限个：$\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 的单位为 $\pm 1,\ \pm\mathrm{i}$；对实二次域单位无限，如 $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ 的单位为 $\pm(1+\sqrt2)^k\ (k\in\mathbb{Z})$。