主理想

主理想是"由一个元素生成"的最简单理想：$(a)=\{ra:r\in R\}$。整数环中所有理想都是主理想，这使 $\mathbb{Z}$ 的因子理论完全由元素刻画；主理想整环（PID）是数论与交换代数的基础结构。需先掌握理想与整环。

定义

设 $R$ 是交换含幺环，$a\in R$。由 $a$ 生成的主理想为

$$(a)=\{ra:r\in R\}=Ra$$

特别地，$(0)$ 是零理想，$(1)=R$ 是单位理想。

若 $R$ 是整环且每个理想都是主理想，则称 $R$ 为主理想整环（principal ideal domain，PID）。

性质

• $\mathbb{Z}$ 是 PID：每个理想都是 $n\mathbb{Z}=(n)$。
• 域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 是 PID（欧几里得整环 $\Rightarrow$ PID）。
• PID 中 $(p)$ 是极大理想 $\iff$ $p$ 是不可约元；PID 中每个非零素理想都是极大理想。
• PID 是唯一分解整环（UFD）。
• 主理想满足升链条件：$(a_1)\subseteq(a_2)\subseteq\cdots$ 最终稳定（Noether 性）。

示例

• $\mathbb{Z}$ 中 $(6)\subset(2)$：理想包含关系与整除关系反向对应，$(a)\supseteq(b)\iff a\mid b$。
• $\mathbb{Z}[x]$ 不是 PID：理想 $(2,x)=\{2f(x)+xg(x)\}$ 不能由单个多项式生成。
• 数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 的代数整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不是 PID。

应用

数论中类数为 $1$ 当且仅当代数整数环 $\mathcal{O}_K$ 是 PID（见理想类群）；PID 上有限生成模有结构定理（分解为循环子模的直和），这是模论与同调代数的基本工具。