商域

商域回答"如何从环制造一个能除法的域"：把整环 $R$ 中的元素当作"分子"、$R\setminus\{0\}$ 当作"分母"，模仿有理数的构造得到最小的包含 $R$ 的域。$\mathbb{Q}$ 就是 $\mathbb{Z}$ 的商域。需先掌握整环与域。

定义

设 $R$ 是整环。在集合 $R\times(R\setminus\{0\})$ 上定义等价关系 $(a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc$，等价类记作 $a/b$。定义

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},\qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$

所得集合构成域，称为 $R$ 的商域（分式域），记作 $\operatorname{Frac}(R)$。

性质

• 嵌入 $R\hookrightarrow\operatorname{Frac}(R)$，$a\mapsto a/1$ 是单射环同态。
• 泛性质：$\operatorname{Frac}(R)$ 是包含 $R$ 的最小域；任何单射 $R\to K$（$K$ 为域）唯一扩张为域嵌入 $\operatorname{Frac}(R)\to K$。
• $R$ 本身是域 $\Rightarrow$ $\operatorname{Frac}(R)\cong R$。
• 与多项式构造兼容：$\operatorname{Frac}(R[x])=\operatorname{Frac}(R)(x)$。

示例

• $\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$。
• 域 $F$ 上 $\operatorname{Frac}(F[x])=F(x)$，即多项式环 $F[x]$ 的有理函数域。
• 数域 $K$ 的代数整数环满足 $\operatorname{Frac}(\mathcal{O}_K)=K$。

应用

代数数论中数域正是其代数整数环的商域；代数几何中 $\mathbb{P}^1$ 等函数域由 $\operatorname{Frac}(k[x])$ 给出；局部化 $\mathfrak{p}^{-1}R$ 是比商域更一般的"在指定素理想外取倒数"构造，是交换代数的基本工具。