绝对连续函数

绝对连续函数是"一致地"把小区间的长度压缩为函数值的变化：对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta>0$，使任意有限个两两不交的小区间只要总长小于 $\delta$，函数在其上取值的总变化就小于 $\varepsilon$。它比连续性强得多，也比有界变差强，恰好刻画 Lebesgue 意义下牛顿-莱布尼茨公式成立的函数类，并与测度论中"$\nu\ll\mu$"（测度绝对连续）一一对应。需先掌握有界变差函数与Lebesgue积分的定义。

定义

设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$。若对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta>0$，使对任意有限个两两不交的区间 $(a_k,b_k)\subseteq[a,b]$，只要 $\sum_k(b_k-a_k)<\delta$ 就有

$$\sum_k|f(b_k)-f(a_k)|<\varepsilon$$

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上绝对连续。

性质

• 包含关系：Lipschitz 连续 $\Rightarrow$ 绝对连续 $\Rightarrow$ 有界变差；绝对连续 $\Rightarrow$ 连续（有界变差与连续性互不蕴含）。
• 微积分基本定理（Lebesgue 形式）：$f$ 绝对连续 $\iff$ $f'$ 几乎处处存在、$f'\in L^1$ 且

$$f(x)-f(a)=\int_a^x f'(t)\,dt$$

即 $f$ 是某个 $L^1$ 函数的积分上限函数，$f'$ 恰为其导数。

• 零测集性质（条件 $N$）：绝对连续函数把零测集映为零测集；反过来，连续且有界变差的函数若具有这一性质，则必绝对连续（Banach–Zarecki 定理）。
• 反例：Cantor 函数连续、单调（故有界变差），但 $f'=0$ a.e. 而 $f$ 不恒等，不满足微积分基本定理，不是绝对连续函数。
• 分解：每个有界变差函数可唯一分解为绝对连续部分与奇异部分之和，与测度的 Lebesgue 分解（Radon-Nikodym定理）对应。

例

• 积分上限函数 $F(x)=\int_a^x g(t)\,dt$（$g\in L^1[a,b]$）绝对连续，且 $F'=g$ a.e.。
• 多项式、指数函数等 Lipschitz 函数绝对连续。
• $\sin(1/x)$（$x\neq 0$）连续但连有界变差都不是，更不绝对连续。

后续

绝对连续函数是Radon-Nikodym定理的实函数对应物（其诱导的测度关于 Lebesgue 测度绝对连续，密度恰为导数），也是弱导数与 Sobolev 空间理论的出发点，并刻画概率论中分布函数具有密度（绝对连续部分）的情形。