有界变差函数

有界变差函数度量函数在区间上"上下摆动的总量"：把 $[a,b]$ 任意分割，把相邻取值之差的绝对值全部累加，若这个总量在一切分割下有上界，就称函数有界变差。它与连续性互不蕴含（连续函数未必有界变差，如 $\sin(1/x)$；有界变差函数也未必连续，如阶梯函数），但包含一切单调函数，恰好是"两个增函数之差"，是绝对连续函数、Riemann–Stieltjes 积分与概率论分布函数变差理论的基础。需先掌握导数定义与Lebesgue积分的定义。

定义

设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$。对分割 $\mathcal{P}: a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$，定义全变差

$$V_a^b(f)=\sup_{\mathcal{P}}\sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|$$

若 $V_a^b(f)<\infty$，称 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界变差，记 $f\in BV[a,b]$。

性质

• 单调函数：$f$ 单调时 $V_a^b(f)=|f(b)-f(a)|$，故单调函数必有界变差。
• 包含关系：Lipschitz 连续 $\Rightarrow$ 有界变差 $\Rightarrow$ 有界且连续点稠密；有界变差函数至多有可数个不连续点，且在 $[a,b]$ 上几乎处处可导、导数可积。
• Jordan 分解：$f\in BV[a,b]$ 当且仅当 $f$ 可表为两个增函数之差 $f=g-h$；这是由 $f$ 诱导的符号测度作哈恩分解与Jordan分解的实函数版本。
• 线性结构：$BV[a,b]$ 是线性空间，$V_a^b$ 是半范数，$\|f\|_{BV}=|f(a)|+V_a^b(f)$ 使其成为 Banach 空间。

例

• 单调函数、Lipschitz 函数（如多项式、$\sin x$）有界变差。
• $f(x)=\sin(1/x)$（$x\neq 0$）、$f(0)=0$ 在 $[0,1]$ 上连续，但在 $0$ 附近振荡无限多次，$V_0^1(f)=\infty$，不是有界变差。
• Cantor 函数连续且单调，故有界变差，但不是绝对连续函数——它是说明"连续 + 有界变差 推不出 绝对连续"的标准反例。

后续

有界变差函数是绝对连续函数与 Lebesgue 形式微积分基本定理的前提；Riemann–Stieltjes 积分、概率论中分布函数的变差分解，以及测度论中由函数诱导的符号测度（Jordan分解）都以它为起点。