可积性判别

不是每个可测函数都可积：可积性要求正负部分积分都有限。掌握判别条件才能判断一个给定的可测函数是否属于 Lebesgue 可积类，这是$L^p$ 空间与概率论期望的入口。需先掌握Lebesgue积分的定义。

定义回顾

$f$ 可积（$f \in L^1$）当且仅当 $\int |f| \, d\mu < \infty$。因此 Lebesgue 可积即绝对可积——这与 Riemann 反常积分"条件收敛"的惯例本质不同（见与Riemann积分的比较）。

常用判据

1. 非负函数：$f \ge 0$ 可测，则 $f$ 可积 ⟺ 存在递增简单函数列 $\varphi_n \uparrow f$ 使 $\sup_n \int \varphi_n \, d\mu < \infty$（由单调收敛定理，$\int f = \sup_n \int \varphi_n$）。
2. 比较判别：若 $|f| \le g$ 几乎处处且 $g$ 可积，则 $f$ 可积（由积分的单调性）。
3. 有界函数 × 有限测度：$f$ 有界可测且 $\mu(E) < \infty$，则 $f$ 在 $E$ 上可积。
4. 可积 ⟹ a.e. 有限：$\int |f| \, d\mu < \infty$ 蕴含 $\mu\{|f| = \infty\} = 0$。

切比雪夫不等式

对 $t > 0$，由 $\int |f| \, d\mu \ge \int_{\{|f| \ge t\}} |f| \, d\mu \ge t \cdot \mu\{|f| \ge t\}$ 得

$$\mu\{|f| \ge t\} \le \frac{1}{t} \int |f| \, d\mu$$

它把"积分有限"转化为"大值集测度小"，是 $L^p$ 收敛理论与概率论中 Markov 不等式的原型。

判别工具

• 极限函数的可积性由控制收敛定理保证：$f_n \to f$ a.e. 且 $|f_n| \le g \in L^1$，则 $f$ 可积。
• 估计 $\int |f|$ 时常用单调收敛定理（非负情形）与Fatou引理（下极限情形）。

应用

• 有限测度空间上 $L^q \subset L^p$（$1 \le p < q$）：由Hölder不等式得 $\int |f|^p \le \|f\|_q^p \, \mu(X)^{1 - p/q}$。
• 概率论中随机变量期望存在的判别：$E|X| < \infty$（即 $X \in L^1$）。
• 判断可积后即可进入$L^p$ 空间讨论其完备性与收敛。

后续

可积性判别与几乎处处约定配合，构成从可测函数进入积分理论的通行证；可积函数还诱导绝对连续的符号测度 $\nu(E) = \int_E f \, d\mu$（见绝对连续函数与 Radon–Nikodym 定理，符号测度的结构见哈恩分解）。