哈恩分解

符号测度取值可正可负（如可积函数 $f$ 的积分 $\nu(E) = \int_E f\,d\mu$），无法直接当作测度处理。哈恩分解把承载符号测度的空间分成"正集"与"负集"两部分，是研究符号测度结构的第一步，也是Jordan分解与全变差理论的前提。需先掌握测度的定义与性质与Lebesgue积分的定义。

定义

设 $\nu$ 是可测空间 $(X, \mathcal{A})$ 上的符号测度（可数可加、至多取一个 $\pm\infty$、$\nu(\varnothing) = 0$）。

• 称可测集 $P$ 为正集，若对一切可测 $E \subseteq P$ 有 $\nu(E) \ge 0$；
• 称可测集 $N$ 为负集，若对一切可测 $E \subseteq N$ 有 $\nu(E) \le 0$。

哈恩分解：存在可测集 $P, N$ 使 $X = P \cup N$、$P \cap N = \varnothing$，且 $P$ 为正集、$N$ 为负集。

性质

• 本质唯一：若 $X = P' \cup N'$ 是另一个哈恩分解，则对称差 $P \mathbin{\triangle} P'$（及 $N \mathbin{\triangle} N'$）是 $\nu$-零集。
• 哈恩分解给出正部与负部的"支撑"：由此可定义Jordan分解 $\nu = \nu^+ - \nu^-$，其中 $\nu^+(E) = \nu(E \cap P)$、$\nu^-(E) = -\nu(E \cap N)$。

例

• $\nu(E) = \int_E f\,d\mu$（$f$ 实值可积）：$P = \{f \ge 0\}$、$N = \{f < 0\}$ 即是一个哈恩分解。
• $\nu = \delta_1 - \delta_2$（两个狄拉克测度之差）：正集含 $1$、负集含 $2$。

后续

哈恩分解直接引出Jordan分解与全变差，是Radon-Nikodym定理、有界变差函数的变差理论以及复测度理论的共同基础。