線形代数 (Linear Algebra)

1. 実数行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ および実数ベクトル $b \in \mathbb{R}^m$ に対して、集合を以下のように定義する：

   $$S = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = b\}, \quad f(x) = Ax$$

   次の事実を証明なく用いてよい。
   • ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W \subseteq V$ である条件は次の通りである：
     • $C1: 0 \in W$
     • $C2: u, v \in W \implies u + v \in W$
     • $C3: u \in W, c \in \mathbb{R} \implies cu \in W$
       以下に答えよ：
   1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \end{bmatrix}$ の場合、写像 $f$ のカーネル $\mathrm{Ker}(f)$ の次元と基底を求めよ。
   2. 一般的に $\mathrm{Ker}(f)$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であることを示せ。
   3. $S \subseteq \mathbb{R}^n$ が部分空間の場合、$b = 0$ を示せ。
   4. $S \subseteq \mathbb{R}^n$ が部分空0不8間かつ $A$ が正方行列の場合、$A$ が可逆なら $S = \{0\}$ を示せ。

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1. 求Ker(f)的维度和基底
   给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 2 & 6 & 6 \end{bmatrix}$，我们对其进行行化简：

   $$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 8 & 24 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

   矩阵的秩为2，因此Ker(f)的维度为 $4 - 2 = 2$。
   解方程 $Ax = 0$：

   $$\begin{cases} 2x_1 + 2x_3 = 0 \\ 8x_2 + 24x_3 + 24x_4 = 0 \\ 2x_2 + 6x_3 + 6x_4 = 0 \end{cases}$$

   化简得：

   $$x_1 = -x_3, \quad x_2 = -3x_3 - 3x_4$$

   设 $x_3 = s, x_4 = t$，则解向量为：

   $$x = s \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

   因此，Ker(f)的基底为 $\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$，维度为2。
2. 证明Ker(f)是 $\mathbb{R}^n$ 的部分空间
   根据部分空间的定义，需验证C1, C2, C3：
   • C1: $0 \in \text{Ker}(f)$，因为 $A0 = 0$。
   • C2: 若 $u, v \in \text{Ker}(f)$，则 $A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0$，故 $u + v \in \text{Ker}(f)$。
   • C3: 若 $u \in \text{Ker}(f)$，则 $A(cu) = c(Au) = c0 = 0$，故 $cu \in \text{Ker}(f)$。
     因此，Ker(f)是 $\mathbb{R}^n$ 的部分空间。
3. 若 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 是部分空间，证明 $b = 0$
   由于 $S$ 是部分空间，必须包含0向量。即 $0 \in S$，所以 $A0 = b$，即 $b = 0$。
4. 若 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 是部分空间且 $A$ 是正方形可逆矩阵，证明 $S = \{0\}$
   已知 $S$ 是部分空间，根据第3题，$b = 0$，所以 $S = \text{Ker}(f)$。
   由于 $A$ 可逆，秩为 $n$，故Ker(f)只有零向量，即 $S = \{0\}$。