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ベクトル解析

ベクトル解析

直交座標系において、xx，yy，zz 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i\mathbf{i}，j\mathbf{j}，k\mathbf{k} とする。次の各問に答えよ。

  1. 3点 (2,−6,2)(2, -6, 2), (1,−10,−1)(1, -10, -1) および (−1,2,3)(-1, 2, 3) が決定する平面と点 (2,−2,−2)(2, -2, -2) との距離を求めよ。
  2. ベクトル場 F\mathbf{F} を

F=(−xy4)i+(z−x)j+(x+y)k\mathbf{F} = \left(-\frac{xy}{4}\right)\mathbf{i} + (z - x)\mathbf{j} + (x + y)\mathbf{k}

とする。曲線 C:x=y28,y=−zC: x = \frac{y^2}{8}, y = -z に沿って、(0,0,0)(0, 0, 0) から (92,6,−6)\left(\frac{9}{2}, 6, -6\right) までの線積分

∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}

を計算せよ。

GPT-4o

1

在空间中，三点可以唯一地确定一个平面，因为三点可以形成一个三角形，该三角形的平面唯一。求解平面方程 Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 的关键是利用给定的三点来确定法向量以及 DD。

1. 平面方程的推导

给定点：

P1(2,−6,2),P2(1,−10,−1),P3(−1,2,3)P_1(2, -6, 2), \quad P_2(1, -10, -1), \quad P_3(-1, 2, 3)

构造两个方向向量：

v1=P2−P1=(−1,−4,−3),v2=P3−P1=(−3,8,1)\mathbf{v}_1 = P_2 - P_1 = (-1, -4, -3), \quad \mathbf{v}_2 = P_3 - P_1 = (-3, 8, 1)

计算法向量：

法向量 n=v1×v2\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2，计算叉积：

n=∣ijk−1−4−3−381∣=i((−4)(1)−(−3)(8))−j((−1)(1)−(−3)(−3))+k((−1)(8)−(−4)(−3)).\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -4 & -3 \\ -3 & 8 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(1) - (-3)(8)) - \mathbf{j}((-1)(1) - (-3)(-3)) + \mathbf{k}((-1)(8) - (-4)(-3)).

结果为：

n=(20,10,−20).\mathbf{n} = (20, 10, -20).

因此，平面的法向量为：

(A,B,C)=(20,10,−20).(A, B, C) = (20, 10, -20).

确定平面方程：

将 P1(2,−6,2)P_1(2, -6, 2) 代入平面方程 20x+10y−20z+D=020x + 10y - 20z + D = 0：

20(2)+10(−6)−20(2)+D=0  ⟹  D=60.20(2) + 10(-6) - 20(2) + D = 0 \implies D = 60.

因此，平面方程为：

20x+10y−20z+60=0.20x + 10y - 20z + 60 = 0.

化简（将系数统一化为最小整数比）得：

2x+y−2z+6=0.2x + y - 2z + 6 = 0.

2. 点到平面的距离

给定点：

Q(2,−2,−2)Q(2, -2, -2)

距离公式：

d=∣Ax1+By1+Cz1+D∣A2+B2+C2d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

代入数据：

分子：

∣2(2)+1(−2)−2(−2)+6∣=∣4−2+4+6∣=∣12∣.|2(2) + 1(-2) - 2(-2) + 6| = |4 - 2 + 4 + 6| = |12|.

分母：

22+12+(−2)2=4+1+4=9=3.\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.

计算距离：

d=123=4.d = \frac{12}{3} = 4.

3. 结论

  • 平面方程：2x+y−2z+6=02x + y - 2z + 6 = 0
  • 点到平面的距离：44

2

给定条件

向量场：

F=(−xy4)i+(z−x)j+(x+y)k\mathbf{F} = \left(-\frac{xy}{4}\right)\mathbf{i} + (z-x)\mathbf{j} + (x+y)\mathbf{k}

曲线参数化为：

r(t)=t28i−tj+tk\mathbf{r}(t) = \frac{t^2}{8}\mathbf{i} - t\mathbf{j} + t\mathbf{k}

其导数为：

drdt=t4i−j+k\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{t}{4}\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}

我们要求解：

∫CF×drdt dt\int_C \mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} \, dt

逐步计算

  1. 代入向量场 F\mathbf{F} 的表达式

将 x=t28,y=−t,z=tx = \frac{t^2}{8}, y = -t, z = t 代入：

F=t332i+(t−t28)j+(t28−t)k\mathbf{F} = \frac{t^3}{32}\mathbf{i} + \left(t - \frac{t^2}{8}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{t^2}{8} - t\right)\mathbf{k}

  1. 计算外积 F×drdt\mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt}

F=[t332t−t28t28−t],drdt=[t4−11]\mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{t^3}{32} \\ t - \frac{t^2}{8} \\ \frac{t^2}{8} - t \end{bmatrix}, \quad \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \begin{bmatrix} \frac{t}{4} \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

外积公式：

F×drdt=∣ijkt332t−t28t28−tt4−11∣\mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{t^3}{32} & t - \frac{t^2}{8} & \frac{t^2}{8} - t \\ \frac{t}{4} & -1 & 1 \end{vmatrix}

展开行列式：

F×drdt=i∣t−t28t28−t−11∣−j∣t332t28−tt41∣+k∣t332t−t28t4−1∣\mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} t - \frac{t^2}{8} & \frac{t^2}{8} - t \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} \frac{t^3}{32} & \frac{t^2}{8} - t \\ \frac{t}{4} & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} \frac{t^3}{32} & t - \frac{t^2}{8} \\ \frac{t}{4} & -1 \end{vmatrix}

计算每个子行列式：

  • 对于 i\mathbf{i}：

∣t−t28t28−t−11∣=(t−t28)(1)−(t28−t)(−1)=t−t28+t28−t=0\begin{vmatrix} t - \frac{t^2}{8} & \frac{t^2}{8} - t \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = \left(t - \frac{t^2}{8}\right)(1) - \left(\frac{t^2}{8} - t\right)(-1) = t - \frac{t^2}{8} + \frac{t^2}{8} - t = 0

  • 对于 j\mathbf{j}：

∣t332t28−tt41∣=(t332)(1)−(t28−t)(t4)=t332−t332+t24=t24\begin{vmatrix} \frac{t^3}{32} & \frac{t^2}{8} - t \\ \frac{t}{4} & 1 \end{vmatrix} = \left(\frac{t^3}{32}\right)(1) - \left(\frac{t^2}{8} - t\right)\left(\frac{t}{4}\right) = \frac{t^3}{32} - \frac{t^3}{32} + \frac{t^2}{4} = \frac{t^2}{4}

  • 对于 k\mathbf{k}：

∣t332t−t28t4−1∣=(t332)(−1)−(t−t28)(t4)=−t332−t24+t332=−t24\begin{vmatrix} \frac{t^3}{32} & t - \frac{t^2}{8} \\ \frac{t}{4} & -1 \end{vmatrix} = \left(\frac{t^3}{32}\right)(-1) - \left(t - \frac{t^2}{8}\right)\left(\frac{t}{4}\right) = -\frac{t^3}{32} - \frac{t^2}{4} + \frac{t^3}{32} = -\frac{t^2}{4}

因此：

F×drdt=0i−t24j−t24k\mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} = 0\mathbf{i} - \frac{t^2}{4}\mathbf{j} - \frac{t^2}{4}\mathbf{k}

  1. 计算积分

∫CF×drdt dt=∫06(−t24j−t24k)dt\int_C \mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} \, dt = \int_0^6 \left(-\frac{t^2}{4}\mathbf{j} - \frac{t^2}{4}\mathbf{k}\right) dt

逐分量积分：

  • 对于 j\mathbf{j} 分量：

∫06−t24dt=−14∫06t2dt=−14⋅t33∣06=−14⋅633=−14⋅72=−18\int_0^6 -\frac{t^2}{4} dt = -\frac{1}{4} \int_0^6 t^2 dt = -\frac{1}{4} \cdot \frac{t^3}{3} \Big|_0^6 = -\frac{1}{4} \cdot \frac{6^3}{3} = -\frac{1}{4} \cdot 72 = -18

  • 对于 k\mathbf{k} 分量：

∫06−t24dt=−18\int_0^6 -\frac{t^2}{4} dt = -18

因此结果为：

∫CF×drdt dt=−18j−18k\int_C \mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} \, dt = -18\mathbf{j} - 18\mathbf{k}

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