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問1

白玉が kk 個、赤玉が ll 個入っている袋から1つずつ玉を取り出すという操作を、袋が空になるまで繰り返す。（全部で n=k+ln = k + l 回の操作が行われる。）このとき、取り出された順に玉の色を並べることによって得られる長さ nn の文字列 a=a1a2…ana = a_1 a_2 \dots a_n を次のように定義する。各 i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \dots, n\} に対し、ii 回目の操作で白玉が取り出されたとき ai=wa_i = w、赤玉が取り出されたとき ai=ra_i = r とする。このようにして得られるすべての文字列 aa からなる集合を Lk,lL_{k,l} とする。すなわち、Σ={w,r}\Sigma = \{w, r\} としたとき Lk,l⊆ΣnL_{k,l} \subseteq \Sigma^n である。また、ii 回目の操作で白玉が取り出されたとき、その時点で袋の中に残っている赤玉の個数を pip_i、赤玉が取り出されたとき、その時点で袋の中に残っている白玉の個数を pip_i とし、報酬 pip_i が与えられるとする。このようにして得られるすべての報酬の系列 p=p1p2…pnp = p_1 p_2 \dots p_n からなる集合を Pk,lP_{k,l} とする。例えば、k=l=3k = l = 3 で、赤、白、白、赤、赤、白の順に玉を袋から取り出したとき，a=rwwrrwa = rwwrrw、p=322110p = 322110 となるので、a∈L3,3a \in L_{3,3}、p∈P3,3p \in P_{3,3} であるが、rwwwrw∉L3,3rwwwrw \notin L_{3,3}（ww と rr の出現数は等しいはず）、322111∉P3,3322111 \notin P_{3,3}（最後に受け取る報酬は必ず0 のはず）である。

(1) k=l=3k = l = 3 のとき、集合 Lk,lL_{k,l} を受理する状態数最小の決定性有限オートマトンの状態遷移図を示せ。ただし、受理状態に到達することのない状態、および、そのような状態への遷移は省略してもよい。

(2) k=l=3k = l = 3 のとき、集合 Pk,l(⊆{0,1,2,3}6)P_{k,l} (\subseteq \{0, 1, 2, 3\}^6) を受理する状態数最小の決定性有限オートマトンの状態遷移図を示せ。ただし、受理状態に到達することのない状態、および、そのような状態への遷移は省略してもよい。

(3) 任意の白玉数 kk、赤玉数 ll に対し、玉の取り出し方によらず、報酬の総和が ∑i=1npi=kl\sum_{i=1}^n p_i = kl となることを示せ。（ヒント：nn に関する帰納法を用いよ。）

中文翻译

袋中有 kk 个白球和 ll 个红球，每次从袋中取出一个球，直到袋为空（总共进行 n=k+ln = k + l 次操作）。按照取出的顺序排列球的颜色，得到一个长度为 nn 的字符串 a=a1a2…ana = a_1 a_2 \dots a_n，定义如下：对于每个 i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \dots, n\}，如果第 ii 次取出的是白球，则 ai=wa_i = w；如果取出的是红球，则 ai=ra_i = r。所有这样的字符串 aa 构成的集合记为 Lk,lL_{k,l}，即 Σ={w,r}\Sigma = \{w, r\} 时 Lk,l⊆ΣnL_{k,l} \subseteq \Sigma^n。此外，如果第 ii 次取出的是白球，则此时袋中剩余的红球数为 pip_i；如果取出的是红球，则此时袋中剩余的白球数为 pip_i，并得到奖励 pip_i。所有这样的奖励序列 p=p1p2…pnp = p_1 p_2 \dots p_n 构成的集合记为 Pk,lP_{k,l}。例如，当 k=l=3k = l = 3 时，按照红、白、白、红、红、白的顺序取出球，则 a=rwwrrwa = rwwrrw、p=322110p = 322110，因此 a∈L3,3a \in L_{3,3}、p∈P3,3p \in P_{3,3}，但 rwwwrw∉L3,3rwwwrw \notin L_{3,3}（ww 和 rr 的出现次数应相等），322111∉P3,3322111 \notin P_{3,3}（最后得到的奖励必为0）。

(1) 当 k=l=3k = l = 3 时，画出接受集合 Lk,lL_{k,l} 的状态数最少的确定性有限自动机的状态转移图。可以省略无法到达接受状态的状态及其转移。

(2) 当 k=l=3k = l = 3 时，画出接受集合 Pk,l(⊆{0,1,2,3}6)P_{k,l} (\subseteq \{0, 1, 2, 3\}^6) 的状态数最少的确定性有限自动机的状态转移图。可以省略无法到达接受状态的状态及其转移。

(3) 对于任意的白球数 kk 和红球数 ll，证明无论球的取出顺序如何，奖励的总和 ∑i=1npi=kl\sum_{i=1}^n p_i = kl。（提示：使用关于 nn 的归纳法。）

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(1) 接受 L3,3L_{3,3} 的有限自动机的状态转移图如下：

\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >=1pt, auto, semithick]

  % Define states with absolute positions
  \node[circle, draw] (start) at (0, 0) {};
  \node[circle, draw] (q0) at (2, 0) {$(3,3)$};
  \node[circle, draw] (q1) at (4, 0) {$(2,3)$};
  \node[circle, draw] (q2) at (6, 0) {$(1,3)$};
  \node[circle, draw] (q3) at (8, 0) {$(0,3)$};

  \node[circle, draw] (q4) at (2, -2) {$(3,2)$};
  \node[circle, draw] (q5) at (4, -2) {$(2,2)$};
  \node[circle, draw] (q6) at (6, -2) {$(1,2)$};
  \node[circle, draw] (q7) at (8, -2) {$(0,2)$};

  \node[circle, draw] (q8) at (2, -4) {$(3,1)$};
  \node[circle, draw] (q9) at (4, -4) {$(2,1)$};
  \node[circle, draw] (q10) at (6, -4) {$(1,1)$};
  \node[circle, draw] (q11) at (8, -4) {$(0,1)$};

  \node[circle, draw] (q12) at (2, -6) {$(3,0)$};
  \node[circle, draw] (q13) at (4, -6) {$(2,0)$};
  \node[circle, draw] (q14) at (6, -6) {$(1,0)$};
  \node[double, circle, draw] (q15) at (8, -6) {$(0,0)$};

  % Transitions
  \path (start) edge (q0)
 (q0) edge node {w} (q1)
 edge node[right] {r} (q4)
 (q1) edge node {w} (q2)
 edge node[right] {r} (q5)
 (q2) edge node {w} (q3)
 edge node[right] {r} (q6)
 (q3) edge node[right] {r} (q7)
 (q4) edge node {w} (q5)
 edge node[right] {r} (q8)
 (q5) edge node {w} (q6)
 edge node[right] {r} (q9)
 (q6) edge node {w} (q7)
 edge node[right] {r} (q10)
 (q7) edge node[right] {r} (q11)
 (q8) edge node {w} (q9)
 edge node[right] {r} (q12)
 (q9) edge node {w} (q10)
 edge node[right] {r} (q13)
 (q10) edge node {w} (q11)
  edge node[right] {r} (q14)
 (q11) edge node[right] {r} (q15)
 (q12) edge node {w} (q13)
 (q13) edge node {w} (q14)
 (q14) edge node {w} (q15);

\end{tikzpicture}
\end{document}

(2) 接受 P3,3P_{3,3} 的有限自动机的状态转移图如下：

\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >=1pt, auto, semithick]

  % Define states with absolute positions
  \node[circle, draw] (start) at (0, 0) {};
  \node[circle, draw] (q0) at (2, 0) {$(3,3)$};
  \node[circle, draw] (q1) at (4, 0) {$(2,3)$};
  \node[circle, draw] (q2) at (6, 0) {$(1,3)$};
  \node[circle, draw] (q3) at (8, 0) {$(0,3)$};

  \node[circle, draw] (q4) at (2, -2) {$(3,2)$};
  \node[circle, draw] (q5) at (4, -2) {$(2,2)$};
  \node[circle, draw] (q6) at (6, -2) {$(1,2)$};
  \node[circle, draw] (q7) at (8, -2) {$(0,2)$};

  \node[circle, draw] (q8) at (2, -4) {$(3,1)$};
  \node[circle, draw] (q9) at (4, -4) {$(2,1)$};
  \node[circle, draw] (q10) at (6, -4) {$(1,1)$};
  \node[circle, draw] (q11) at (8, -4) {$(0,1)$};

  \node[circle, draw] (q12) at (2, -6) {$(3,0)$};
  \node[circle, draw] (q13) at (4, -6) {$(2,0)$};
  \node[circle, draw] (q14) at (6, -6) {$(1,0)$};
  \node[double, circle, draw] (q15) at (8, -6) {$(0,0)$};

  % Transitions
  \path (start) edge (q0)
        (q0) edge node {3} (q1)
             edge node[right] {3} (q4)
        (q1) edge node {2} (q2)
             edge node[right] {2} (q5)
        (q2) edge node {1} (q3)
             edge node[right] {1} (q6)
        (q3) edge node[right] {0} (q7)
        (q4) edge node {3} (q5)
             edge node[right] {3} (q8)
        (q5) edge node {2} (q6)
             edge node[right] {2} (q9)
        (q6) edge node {1} (q7)
             edge node[right] {1} (q10)
        (q7) edge node[right] {0} (q11)
        (q8) edge node {3} (q9)
             edge node[right] {3} (q12)
        (q9) edge node {2} (q10)
             edge node[right] {2} (q13)
        (q10) edge node {1} (q11)
              edge node[right] {1} (q14)
        (q11) edge node[right] {0} (q15)
        (q12) edge node {3} (q13)
        (q13) edge node {2} (q14)
        (q14) edge node {1} (q15);

\end{tikzpicture}
\end{document}

(3) 使用归纳法证明 ∑i=1npi=kl\sum_{i=1}^n p_i = kl。
基例：当 n=1n = 1 时，k=1k = 1 或 l=1l = 1，显然成立。
归纳假设：假设对于 n=mn = m 时成立。
归纳步骤：对于 n=m+1n = m + 1，无论取出的是白球还是红球，奖励的总和都增加 ll 或 kk，因此 ∑i=1m+1pi=kl\sum_{i=1}^{m+1} p_i = kl。
证毕。

DeepSeekV3

Summary and Final Answer

Part (1):

The provided DFA for accepting L3,3L_{3,3} is correct. The states represent the remaining counts of white and red balls, and the transitions correctly decrement the appropriate counts based on the drawn ball ('w' or 'r'). The accepting state is (0,0)(0,0), which signifies that all balls have been drawn.

Part (2):

The provided DFA for accepting P3,3P_{3,3} is also correct. The states are labeled as pairs (w,r)(w, r), and the transitions are correctly labeled with the reward values corresponding to the number of remaining balls of the opposite color after each draw. The sequence of rewards is enforced correctly, and the accepting state (0,0)(0,0) is reached when all balls are drawn.

Part (3):

The proof by induction that ∑i=1npi=kl\sum_{i=1}^n p_i = kl is valid but needs a more detailed explanation in the induction step. Here is the corrected induction proof:

  • Base case (n=1n=1): If n=1n=1, either k=1,l=0k=1, l=0 or k=0,l=1k=0, l=1. In both cases, the sum of rewards is 00, which equals klkl.

  • Inductive hypothesis: Assume that for any sequence of mm draws with k′+l′=mk' + l' = m, the sum of rewards is k′⋅l′k' \cdot l'.

  • Inductive step (n=m+1n = m + 1):

    • If the first ball drawn is white, p1=lp_1 = l, and the remaining balls are k−1k-1 white and ll red. By the induction hypothesis, the sum of the next mm rewards is (k−1)⋅l(k-1) \cdot l. Thus, the total sum is l+(k−1)⋅l=k⋅ll + (k-1) \cdot l = k \cdot l.
    • If the first ball drawn is red, p1=kp_1 = k, and the remaining balls are kk white and l−1l-1 red. By the induction hypothesis, the sum of the next mm rewards is k⋅(l−1)k \cdot (l-1). Thus, the total sum is k+k⋅(l−1)=k⋅lk + k \cdot (l-1) = k \cdot l.

In both cases, the sum of rewards is k⋅lk \cdot l, completing the proof by induction.

Conclusion

  • Part (1): The DFA is correct.
  • Part (2): The DFA is correct.
  • Part (3): The proof is valid but required a more detailed explanation for the induction step, which has been provided above.

Overall, the answers are correct with the specified adjustments for clarity in part (3).

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