复线积分2

复素积分中，当极点是重根时，使用留数定理需要计算高阶留数。对于 $f(z)$ 在 $z = z_0$ 处具有 $m$ 重极点的情况，其留数的计算公式如下：

$$\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z - z_0)^m f(z)\right]$$

具体步骤如下：

1. 确定极点 $z_0$ 的阶数 $m$。
2. 计算 $(z - z_0)^m f(z)$。
3. 对结果进行 $m-1$ 阶导数。
4. 将 $z$ 取极点 $z_0$ 的极限。
5. 最后除以 $(m-1)!$。

例子：

设 $f(z) = \frac{e^z}{(z-1)^3}$，在 $z = 1$ 处有 3 重极点。我们计算其留数：

1. $m = 3$。
2. $(z - 1)^3 f(z) = e^z$。
3. 计算 $e^z$ 的二阶导数：

   $$\frac{d}{dz}(e^z) = e^z \\ \frac{d^2}{dz^2}(e^z) = e^z$$

4. 取极限 $z \to 1$：

   $$\lim_{z \to 1} e^z = e$$

5. 除以 $(3-1)! = 2! = 2$：

   $$\text{Res}(f, 1) = \frac{e}{2}$$

因此，$f(z) = \frac{e^z}{(z-1)^3}$ 在 $z = 1$ 处的留数为 $\frac{e}{2}$。

使用上述步骤，你可以计算任何重根极点的留数。

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在复数域中，$e^z$ 的导数计算与在实数域中是相同的。$e^z$ 的导数公式在复数和实数情况下都是：

$$\frac{d}{dz}e^z = e^z$$

这是因为 $e^z$ 的导数定义通过其幂级数展开：

$$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$

对其逐项求导：

$$\frac{d}{dz}e^z = \frac{d}{dz} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nz^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{z^m}{m!} = e^z$$

这里将求和的索引从 $n$ 换成 $m$，其中 $m = n-1$。

因此，$e^z$ 的导数无论是在实数域还是复数域，都是 $e^z$ 本身。这也是为什么 $e^z$ 在复数域中有许多特殊性质，如作为复指数函数的一部分，其导数和性质与实数域中的情形一致。