確率・統計

1. 箱の中に $N_1$ 個の白球と $N_2$ 個の黒球があり、総数は $N = N_1 + N_2$ である。箱からランダムに 2 個の球を取り出すとき、両方が白球である確率が $1/2$ であることが分かっている。
   1. $N_2$ が奇数の場合、$N_1$ の最小値を求めよ。
   2. $N_2$ が偶数の場合、$N_1$ の最小値を求めよ。
   3. $N$ の最小値を 3 通り求めよ。

Probability and Statistics

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DeepSeekV3

解答

1. $N_2$ が奇数の場合の $N_1$ の最小値
   与えられた条件から、確率方程式を導出し、ペル方程式の解を利用して解析します。

   • ペル方程式 $x^2 - 8y^2 = 1$ の解のうち、$y$ が奇数の最小解は $(x, y) = (3, 1)$ です。
   • これに対応する $N_2 = 1$（奇数）のとき、$N_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1 + 3}{2} = 3$ となります。
   • 実際の確率を計算すると $\frac{\binom{3}{2}}{\binom{4}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ となり条件を満たします。

   答え
   $\boxed{3}$

2. $N_2$ が偶数の場合の $N_1$ の最小値
   同様にペル方程式の解を利用します。

   • $y$ が偶数の最小解は $(x, y) = (17, 6)$ です。
   • これに対応する $N_2 = 6$（偶数）のとき、$N_1 = \frac{2 \cdot 6 + 1 + 17}{2} = 15$ となります。
   • 実際の確率を計算すると $\frac{\binom{15}{2}}{\binom{21}{2}} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$ となり条件を満たします。

   答え
   $\boxed{15}$