求解 $\int e^{-x}\cdot \sin(x)dx$

1. 换元, 将 $\sin(x)$ 化入dx后, 分部积分

$$=-e^{-x}\cdot \cos(x)-\int \cos(x)d(-e^{-x})$$

2. 换元, 将 $\cos(x)$ 化入dx后, 再次使用分部积分

$$=-e^{-x}\cdot \cos(x)-\Big[e^{-x}\cdot \sin(x)+\int e^{-x}\cdot \sin(x)dx\Big]$$

3. 对两部分分别分部积分后得到相同的原式以及不同的部分, 移项

$$2\int e^{-x}\cdot \sin(x)dx=-e^{-x}\cdot\Big[\sin(x)+\cos(x)\Big]$$

思路

使用两次分部积分法得到与原式相同部分, 移项后得解

注意点

两次分部积分要对$sin(x)$部分分别积分一次
否则只能得到两边完全相同的结果相消后为 $0=0$ 的恒等式