一次独立（即线性无关）是指一个向量组中，任意一个向量不能由其他向量的线性组合表示。换句话说，如果一个向量组中的每个向量的线性组合为零向量时，所有系数都必须为零，那么这个向量组就是线性无关的。

假设我们有一个向量组 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$，并且我们知道它们两两之间的内积。要证明这个向量组是线性无关的，可以利用这些内积来构造一个格拉姆矩阵，然后验证这个格拉姆矩阵是否正定。

格拉姆矩阵

证明向量组线性无关

一个向量组$\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$是线性无关的，当且仅当对应的格拉姆矩阵$G$是正定的。也就是说，所有主子式的行列式都是正的，特别是整个矩阵的行列式不为零。

具体步骤如下：

1. 构造格拉姆矩阵：根据已知的内积，构造出格拉姆矩阵$G$。
2. 计算行列式：计算格拉姆矩阵$G$的行列式。如果$\det(G) \neq 0$，则向量组$\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$是线性无关的。
3. 验证主子式的正性（可选）：为了进一步确认，可以计算$G$的所有主子式的行列式，确保它们都是正的。

例子

假设我们有三个向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$，它们之间的内积如下：

$$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 = 4, \quad \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_2 = 5, \quad \mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{v}_3 = 6$$

$$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 1, \quad \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3 = 0, \quad \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3 = 2$$

那么它们的格拉姆矩阵为：

$$G = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \end{bmatrix}$$

接下来，我们计算这个矩阵的行列式：

$$\det(G) = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 \times (5 \times 6 - 2 \times 2) - 1 \times (1 \times 6 - 2 \times 0) + 0 \times (1 \times 2 - 5 \times 0)$$

$$= 4 \times (30 - 4) - 1 \times 6 = 4 \times 26 - 6 = 104 - 6 = 98$$

由于$\det(G) = 98 \neq 0$，所以向量组$\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$是线性无关的。

总结：通过构造格拉姆矩阵并验证其行列式不为零，可以证明任意向量组的线性无关性。