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n×nn \times n 矩阵的特征方程是一个 nn 次多项式，若考虑复数根，该方程恰好有 nn 个根（重根按重复次数计算）。研究复特征值可以揭示矩阵中隐藏的信息，通常与周期、振动、旋转等问题相关。

基于 Rn\mathbb{R}^n 的矩阵特征值-特征向量理论同样适用于 Cn\mathbb{C}^n。因此，复数 λ\lambda 满足 det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0 当且仅当在 Cn\mathbb{C}^n 中存在非零向量 x\boldsymbol{x}，使得 Ax=λxA \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}。我们称这样的 λ\lambda 为（复）特征值，x\boldsymbol{x} 为对应于 λ\lambda 的（复）特征向量。

1. 向量的实部和虚部

Cn\mathbb{C}^n 中复向量 x\boldsymbol{x} 的共轭向量 x‾\overline{\boldsymbol{x}} 也是 Cn\mathbb{C}^n 中的向量，其分量是 x\boldsymbol{x} 中对应分量的共轭复数。向量 Re  x\mathrm{Re}\; \boldsymbol{x} 和 Im  x\mathrm{Im}\; \boldsymbol{x} 分别称为复向量 x\boldsymbol{x} 的实部和虚部，分别由 x\boldsymbol{x} 的分量的实部和虚部组成。

假设 BB 是可能含有复元素的 m×nm \times n 矩阵，那么以 BB 中元素的共轭复数为元素的矩阵记为 B‾\overline{B}。复数的共轭运算性质对复矩阵代数同样适用：

rx‾=rˉxˉ,Bx‾=Bˉxˉ,BC‾=BˉCˉ,rB‾=rˉBˉ \overline{r \boldsymbol{x}} = \bar{r} \bar{\boldsymbol{x}}, \quad \overline{B \boldsymbol{x}} = \bar{B} \bar{\boldsymbol{x}}, \quad \overline{BC} = \bar{B} \bar{C}, \quad \overline{rB} = \bar{r} \bar{B}

2. 作用于 Cn\mathbb{C}^n 上的实矩阵的特征值和特征向量

设 AA 为 n×nn \times n 的实矩阵，则 Ax‾=Aˉxˉ=Axˉ\overline{A \boldsymbol{x}} = \bar{A} \bar{\boldsymbol{x}} = A \bar{\boldsymbol{x}}。如果 λ\lambda 是 AA 的特征值，x\boldsymbol{x} 是对应于 λ\lambda 的特征向量，那么：

Axˉ=Ax‾=λx‾=λˉxˉ A \bar{\boldsymbol{x}} = \overline{A \boldsymbol{x}} = \overline{\lambda \boldsymbol{x}} = \bar{\lambda} \bar{\boldsymbol{x}}

因此，λˉ\bar{\lambda} 也是 AA 的特征值，xˉ\bar{\boldsymbol{x}} 是对应的特征向量。这表明，当 AA 是实矩阵时，其复特征值以共轭复数对出现。这里的复特征值指形如 λ=a+bi\lambda = a + b\mathrm{i}（b≠0b \neq 0）的特征值。

设 C=[a−bba]C = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a\end{bmatrix}，其中 aa、bb 为实数且不全为零。那么，CC 的特征值是 λ=a±bi\lambda = a \pm b\mathrm{i}。同样，若 r=∣λ∣=a2+b2r = |\lambda| = \sqrt{a^2 + b^2}，则：

C=r[a/r−b/rb/ra/r]=[r00r][cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ] C = r \begin{bmatrix}a/r & -b/r \\ b/r & a/r\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r & 0 \\ 0 & r\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{bmatrix}

其中，φ\varphi 是正 xx 轴与从 (0,0)(0, 0) 到 (a,b)(a, b) 的射线之间的夹角，称为 λ=a+bi\lambda = a + b\mathrm{i} 的辐角。因此，变换 x↦Cx\boldsymbol{x} \mapsto C \boldsymbol{x} 可视为旋转 φ\varphi 角度和缩放 ∣λ∣|\lambda| 的复合变换。

如果 AA 是实矩阵，则 A(Re  x)=Re(Ax)A (\mathrm{Re}\; \boldsymbol{x}) = \mathrm{Re} (A \boldsymbol{x}) 和 A(Im  x)=Im(Ax)A (\mathrm{Im}\; \boldsymbol{x}) = \mathrm{Im} (A \boldsymbol{x})。如果 x\boldsymbol{x} 是对应于复特征值的特征向量，则 Re  x\mathrm{Re}\; \boldsymbol{x} 和 Im  x\mathrm{Im}\; \boldsymbol{x} 是线性无关的。

定理 9 设 AA 是 2×22 \times 2 的实矩阵，具有复特征值 λ=a−bi\lambda = a - b\mathrm{i}（b≠0b \neq 0）及对应的 C2\mathbb{C}^2 中的复特征向量 v\boldsymbol{v}，那么：

A=PCP−1,其中  P=[Re  vIm  v],  C=[a−bba] A = P C P^{-1}, \quad 其中 \; P = \begin{bmatrix}\mathrm{Re}\; \boldsymbol{v} & \mathrm{Im}\; \boldsymbol{v}\end{bmatrix}, \; C = \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a\end{bmatrix}

在更高维的矩阵中也存在类似情况。例如，若 AA 是由复特征值的 3×3 矩阵，那么在 R3\mathbb{R}^3 中存在某个平面，AA 对平面的作用是旋转（可能还有倍乘），平面中每个向量被旋转到该平面的另一点上，我们称该平面在 AA 的作用下式不变的。