矩估计

通过样本矩来估计总体矩参数

均值 $\mu$ 样本矩估计

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$

方差 $\sigma^2$ 样本矩估计

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \hat{\mu})^2$$

一般地，若模型有 $q$ 个参数，选择存在且能识别参数的 $q$ 个总体矩 $m_j(\theta)=E_\theta[X^j]$，令其等于相应样本K阶原点矩并求解；方程可能无解、多解或得到参数域外的值，需要检查。

例如 $X_i\sim U[0,\theta]$、$\theta>0$，$E[X]=\theta/2$，矩估计为 $\hat\theta=2\bar X$；最大似然估计为样本最大值，两者来自不同目标。上述方差矩估计分母为 $n$，一般有偏，不能与分母 $n-1$ 的样本方差混淆。