区间估计

区间估计是统计推断中用于估计总体参数的一种方法，它提供了一个范围（区间）而不是单一的点估计值。区间估计不仅提供了参数估计值，还给出了估计值的不确定性信息。区间估计的结果通常表现为一个包含总体参数的置信区间。

公式

对于总体均值 $\mu$ 的置信区间，假设样本均值为 $\bar{X}$，样本标准误为 $SE$，则置信区间可以表示为：

$$\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot SE$$

其中，$Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布下对应置信水平的临界值。

当样本量较小且总体方差未知时，使用 t 分布：

$$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot SE$$

其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的临界值。

推导

$$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\dfrac{[(X_{1}-\bar{X})^2+(X_{2}-\bar{X})^2+\dots+(X_{n}-\bar{X})^2]}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$$

则有

$$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{ \dfrac{S^2}{n} }}\sim t(n-1)$$

示例

+

估计某镇收获的苹果重量的母平均数𝝁的范围 已知

• 总体方差为$50^2$
• 随机抽取 100 个样本, 平均值为 350

求此时 𝝁 的 95% 置信区间

使用区间估计来求出总体均值 $\mu$ 的95%置信区间 已知总体方差 $\sigma^2 = 50^2$，样本大小 $n = 100$，样本均值 $\bar{x} = 350$

1. 枢轴量: 由于已知总体方差 $\sigma^2$，我们可以使用正态分布的枢轴量。

$$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$

该枢轴量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。

2. 置信区间: 对于95%的置信水平，对应的标准正态分布的临界值 $z_{\alpha/2} = 1.96$。 解以下不等式来求 $\mu$ 的95%置信区间：

$$-1.96 \leq \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq 1.96$$

$$-1.96 \leq \frac{350 - \mu}{50 / \sqrt{100}} \leq 1.96$$

$$350 - 9.8 \leq \mu \leq 350 + 9.8$$

3. 结论: 母平均数 $\mu$ 的95%置信区间为：

$$[340.2, 359.8]$$

区间估计的优点

1. 提供不确定性信息：相比点估计，区间估计提供了估计值的不确定性信息，更为全面。
2. 增强解释性：区间估计通过置信区间描述估计的可靠性，使得统计推断结果更具解释性。
3. 适应不同置信水平：可以根据需要选择不同的置信水平，灵活性高。