正态总体均值与方差的区间估计

对正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，根据已知条件的不同，构造不同枢轴量求置信区间。

单个正态总体

均值 $\mu$ 的区间估计

条件	枢轴量	分布	置信区间
$\sigma^2$ 已知	$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$	$N(0,1)$	$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$\sigma^2$ 未知	$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$	$t(n-1)$	$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}$

方差 $\sigma^2$ 的区间估计

条件	枢轴量	分布	置信区间
$\mu$ 未知	$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$	$\chi^2(n-1)$	$\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right)$

两个正态总体

均值差 $\mu_1 - \mu_2$ 的区间估计

条件	置信区间
$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知	$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$
$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 未知	$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) \cdot S_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$

其中 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$ 为合并样本方差。