正态总体均值与方差的区间估计

对正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，根据已知条件的不同，构造不同枢轴量求置信区间。

以下各组内部均为正态总体的独立同分布样本，两组比较还要求组间独立，方差为正。涉及样本方差时各 $n_i\ge2$。所有临界值采用上尾约定，如 $P(\chi^2_\nu>\chi^2_{\alpha}(\nu))=\alpha$。

单个正态总体

均值 $\mu$ 的区间估计

条件	枢轴量	分布	置信区间
$\sigma^2$ 已知	$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$	$N(0,1)$	$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$\sigma^2$ 未知	$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$	$t(n-1)$	$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}$

方差 $\sigma^2$ 的区间估计

条件	枢轴量	分布	置信区间
$\mu$ 未知	$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$	$\chi^2(n-1)$	$\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right)$

两个正态总体

均值差 $\mu_1 - \mu_2$ 的区间估计

条件	置信区间
$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知	$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$
$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 未知	$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2) \cdot S_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$

其中 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$ 为合并样本方差。

已知均值 $\mu$ 时，方差的精确枢轴为 $\sum_i(X_i-\mu)^2/\sigma^2\sim\chi^2(n)$，分子使用真均值且自由度为 $n$。若两个未知方差不假设相等，均值差可用Welch 方法得到近似区间，不能继续使用合并方差和 $n_1+n_2-2$ 自由度。