矩生成函数

矩生成函数通过指数变换把随机变量的各阶矩编码进一个函数，其 $n$ 阶导数在 $t=0$ 处给出 $n$ 阶原点矩（不是中心矩）。

定义

离散型 $M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_x e^{tx}P(X=x)$
连续型 $M_X(t)=E[e^{tX}]=\int e^{tx}f(x)\,dx$（定积分，上下限为 $x$ 的定义域；结果只是 $t$ 的函数）

性质：$M_X^{(n)}(0)=E[X^n]$；矩生成函数在 $0$ 的邻域内存在时唯一确定分布，且对独立的 $X,Y$ 有 $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$。由 $M_X'(0)=E[X]$、$M_X''(0)=E[X^2]$ 可直接得到期望与方差；高斯分布的特例见高斯分布的矩生成函数。