矩生成函数

当 $M_X(t)$ 在零点的某个开邻域内有限时，矩生成函数通过指数变换把随机变量的各阶矩编码进一个函数，其 $n$ 阶导数在 $t=0$ 处给出 $n$ 阶原点矩（不是中心矩）。

定义

离散型 $M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_x e^{tx}P(X=x)$
连续型 $M_X(t)=E[e^{tX}]=\int e^{tx}f(x)\,dx$（定积分，上下限为 $x$ 的定义域；结果只是 $t$ 的函数）

以下求导与唯一性性质均在这一邻域有限条件下使用：$M_X^{(n)}(0)=E[X^n]$；矩生成函数在 $0$ 的邻域内存在时唯一确定分布，且对独立的 $X,Y$ 有 $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$。由 $M_X'(0)=E[X]$、$M_X''(0)=E[X^2]$ 可直接得到期望与方差；高斯分布的特例见高斯分布的矩生成函数。

该条件允许对期望中的指数函数逐阶求导，并保证所有绝对矩有限；仅在 $t=0$ 有 $M_X(0)=1$ 不够。反过来，各阶矩存在也不保证零点邻域的矩生成函数存在。例如 $X=e^Z$、$Z\sim N(0,1)$ 时，$E[X^n]=e^{n^2/2}$ 对每个非负整数有限，但任意 $t>0$ 下

$$E[e^{tX}]=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}\exp(te^z-z^2/2)\,dz=\infty,$$

因为当 $z\to\infty$ 时 $te^z-z^2/2\to\infty$，被积函数最终大于 1。