偏度

定义

偏度是统计学中用于衡量随机变量概率分布不对称性的数字特征。它描述了分布偏离对称性的程度和方向。

对于一个随机变量 $X$，若其均值为 $\mu$，标准差为 $\sigma$，则偏度 $\gamma_1$ 定义为三阶标准中心矩：

$$\gamma_1 = E\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^3\right] = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

其中 $\mu_3 = E[(X - \mu)^3]$ 是 $X$ 的三阶中心矩。

计算

总体偏度

对于总体数据，偏度计算公式为：

$$\gamma_1 = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^3}{\sigma^3}$$

样本偏度

对于样本数据，常用的无偏估计量为：

$$g_1 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^3}{s^3}$$

更精确的调整公式（如Fisher-Pearson系数）：

$$G_1 = \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2} \cdot g_1$$

偏度的类型

正偏态（右偏）

• 偏度 > 0
• 分布右侧有长尾，均值 > 中位数 > 众数
• 例子：个人收入分布（少数高收入者拉长右侧尾部）

负偏态（左偏）

• 偏度 < 0
• 分布左侧有长尾，均值 < 中位数 < 众数
• 例子：考试分数分布（多数学生得分较高，少数低分拉长左侧尾部）

对称分布

• 偏度 ≈ 0
• 分布基本对称，均值 = 中位数 = 众数
• 例子：正态分布、均匀分布

可视化示例

正偏态（右偏）：
      ▲
      │      •
      │    •  •
      │  •    •
      │ •     •
──────•───────────►
    众数 中位数 均值

负偏态（左偏）：
        ▲
        │ •
        │ • •
        │•   •
        │•     •
    ──────•───────►
    均值 中位数 众数

对称分布：
      ▲
      │   •
      │  • •
      │ •   •
      │•     •
    ───•─•─•─────►
    众数 中 均

5. 性质与特点

1. 无量纲：偏度是一个纯数，不受数据单位和尺度的影响
2. 对称性基准：对称分布的偏度为0，但偏度为0不一定完全对称
3. 异常值敏感：由于涉及三次方，对极端值比较敏感
4. 应用广泛：在金融、气象、质量控制等领域有重要应用

6. 与其他矩的关系

偏度是概率分布三阶矩的标准化形式，与其他矩共同描述分布特征：

• 一阶矩：均值 - 位置参数
• 二阶矩：方差 - 尺度参数
• 三阶矩：偏度 - 形状参数（不对称性）
• 四阶矩：峰度 - 形状参数（尾部厚度）

7. 实际应用

7.1 金融领域

• 资产收益率分布往往具有负偏度，意味着大幅下跌的概率大于大幅上涨

7.2 质量控制

• 生产过程输出若出现偏度，可能预示某种系统性偏差

7.3 假设检验

• 许多统计方法（如t检验、方差分析）假设数据近似正态分布
• 检验偏度是验证正态性假设的重要步骤

8. 注意事项

1. 小样本下偏度估计可能不准确
2. 偏度只能描述不对称性，不能完全表征分布形状
3. 在严重偏态的数据中，应考虑数据变换或使用非参数方法

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总结：偏度是理解概率分布形态的重要工具，与均值和方差共同构成了描述随机变量分布特征的"三要素"。