F分布

F分布的定义

F分布是统计学中用来比较两个样本方差是否显著不同的一种概率分布，通常在方差分析（ANOVA）及回归分析等领域中广泛应用。这个分布由统计学家罗纳德·费希尔（Ronald Fisher）首先引入。它可由两个相互独立的卡方变量各自除以其自由度后的比值构造。

数学表达

F分布是两个卡方分布的比值的分布，其中每个卡方分布都除以了其自由度。设 $X,Y$ 相互独立，分别服从自由度 $d_1>0,d_2>0$ 的卡方分布，那么变量

$$F = \frac{X/d_1}{Y/d_2}$$

服从自由度为 $d_1$ 和 $d_2$ 的F分布，记为 $F(d_1, d_2)$。

应用

在实际应用中，F分布常用于以下几种情况：

1. 方差齐性检验：比较两个独立正态总体的方差是否有统计学上的显著差异，即F检验。
2. 方差分析（ANOVA）：用来分析多个样本均值之间的差异是否显著（见单因素试验的方差分析）。
3. 回归分析：测试回归模型中某些自变量的影响是否显著。

性质

• 当 $d_1,d_2$ 均趋于无穷时，$F$ 依概率趋于常数 $1$；适当中心化和标准化后才能谈正态近似，不能说原分布趋于一个固定的非退化正态分布。
• F分布是非对称的，右偏，其形状由自由度 $d_1$ 和 $d_2$ 控制。
• 当 $d_2 > 2$ 时，F分布的均值为 $\frac{d_2}{d_2 - 2}$，当 $d_2 > 4$ 时，方差为 $\frac{2d_2^2 (d_1 + d_2 - 2)}{d_1 (d_2 - 2)^2 (d_2 - 4)}$。

通过这些性质和应用，F分布在统计分析中扮演着重要角色，尤其是在假设检验和模型评估中。