单因素试验的方差分析

单因素试验的方差分析（One-Way ANOVA）用于比较一个因素在多个水平下的均值是否存在显著差异，是双因素试验的方差分析在单因素下的简化情形。

数学模型

设因素 $A$ 有 $k$ 个水平，第 $i$ 个水平下有 $n_i$ 次重复试验，总试验次数 $n = \sum_{i=1}^k n_i$：

$$X_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}, \quad \varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$

假设各误差相互独立，$\sigma^2>0$，$k\ge2$、各 $n_i\ge1$ 且 $n>k$。

其中 $\mu$ 为总均值，$\alpha_i$ 为第 $i$ 个水平的效应，满足 $\sum_{i=1}^k n_i \alpha_i = 0$。

假设

• $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$（各总体均值相等；显著与否是数据检验的结果）
• $H_1:$ 至少一个 $\alpha_i \neq 0$

平方和分解

$$SST = SSA + SSE$$

• $SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X})^2$ — 总离差平方和
• $SSA = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{X}_{i\cdot} - \bar{X})^2$ — 组间平方和
• $SSE = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_{i\cdot})^2$ — 组内平方和（误差）

F 检验

在上述模型且 $H_0$ 成立时，

$$F = \frac{SSA / (k-1)}{SSE / (n-k)} \sim F(k-1, n-k)$$

检验统计量服从F分布；拒绝域：$F > F_{\alpha}(k-1, n-k)$，其中 $\alpha$ 为显著性水平，$F_\alpha$ 按上尾概率 $\alpha$ 定义。

从数据到结论

取三组观测 $(1,2,3)$、$(2,3,4)$、$(5,6,7)$，各组均值为 $2,3,6$，总均值为 $11/3$。组内每组的平方和都是 $2$，所以

$$SSE=6,\quad SSA=3[(2-11/3)^2+(3-11/3)^2+(6-11/3)^2]=26,\quad SST=32.$$

自由度分别为 $6,2,8$，得到 $F=(26/2)/(6/6)=13$，上尾 $p\approx0.00659$。在上述独立正态同方差模型下，按 $\alpha=0.05$ 拒绝各均值相等。这个总体检验不能直接说明任意两组都不同；进一步比较需预先指定对比或使用控制多重比较误差的方法。

平方和分解来自 $X_{ij}-\bar X=(X_{ij}-\bar X_{i\cdot})+(\bar X_{i\cdot}-\bar X)$，交叉项按组求和为零。正态同方差模型下，这两个正交投影的平方和除以 $\sigma^2$ 在原假设下独立服从相应自由度的卡方分布，因而比值为 F；这与正交投影和多元线性回归是同一套线性模型结构。

条件检查

独立性主要由抽样和随机分组设计保证，不能靠残差图证明。按组查看残差的散布与异常值、用 Q–Q 图检查明显的分布偏离；只有少量重复时，图形也无法有力确认正态性。若方差明显不同，可考虑 Welch 方差分析；不把“不显著的方差检验”当作方差已相等的证明。