单因素试验的方差分析

单因素试验的方差分析（One-Way ANOVA）用于比较一个因素在多个水平下的均值是否存在显著差异，是双因素试验的方差分析在单因素下的简化情形。

数学模型

设因素 $A$ 有 $k$ 个水平，第 $i$ 个水平下有 $n_i$ 次重复试验，总试验次数 $n = \sum_{i=1}^k n_i$：

$$X_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}, \quad \varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$

其中 $\mu$ 为总均值，$\alpha_i$ 为第 $i$ 个水平的效应，满足 $\sum_{i=1}^k n_i \alpha_i = 0$。

假设

• $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$（各水平无显著差异）
• $H_1:$ 至少一个 $\alpha_i \neq 0$

平方和分解

$$SST = SSA + SSE$$

• $SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X})^2$ — 总离差平方和
• $SSA = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{X}_{i\cdot} - \bar{X})^2$ — 组间平方和
• $SSE = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_{i\cdot})^2$ — 组内平方和（误差）

F 检验

$$F = \frac{SSA / (k-1)}{SSE / (n-k)} \sim F(k-1, n-k)$$

检验统计量服从F分布；拒绝域：$F > F_{\alpha}(k-1, n-k)$，其中 $\alpha$ 为显著性水平。