t分布

简介

$t$ 分布广泛应用于小样本数据分析中的假设检验和置信区间的建立，其构造依赖于标准正态分布与卡方分布。

定义

$t$ 分布的概率密度函数：

$$f(t) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$

其中，$\nu>0$ 是自由度，$\Gamma$ 是伽玛函数。

构造

$t$ 分布可以通过标准正态分布和卡方分布构造。当 $X \sim N(0,1)$ 与 $Y \sim \chi^2(k)$ 相互独立时，$Z = \dfrac{X}{\sqrt{Y/k}}$ 服从自由度为 $k$ 的 $t$ 分布。
这里用 $Y/k$ 构造随机尺度；$k>2$ 时 $\operatorname{Var}(Z)=k/(k-2)$，$k\le2$ 时没有有限方差。
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性质

1. 对称性：$t$ 分布是关于 0 对称的。
2. 形态：随着自由度的增加，$t$ 分布越来越接近正态分布。当自由度趋向于无穷大时，$t$ 分布理论上会收敛到标准正态分布。
3. 厚尾性：相比于正态分布，$t$ 分布有更厚的尾部，这意味着它更能容纳极端值的出现。

应用

1. 置信区间：对正态总体的独立样本，$n\ge2$、$\sigma>0$ 且未知时，$(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)\sim t(n-1)$，据此构建均值的精确置信区间。
2. 假设检验：$t$ 检验是基于 $t$ 分布的，用于比较两个平均数是否存在显著差异，或者一个样本平均数与总体平均数之间的比较。

$t$ 分布是处理小样本统计推断中不可或缺的工具，尤其在数据量不足以准确估计标准差时，它提供了一个有效的解决方案。在应用中，它是t检验与均值区间估计的理论基础。