双因素试验的方差分析

双因素试验的方差分析（Two-Way ANOVA）用于分析两个因素对响应变量的影响，并判断因素间是否存在交互作用，是单因素试验的方差分析向两个因素的推广。

数学模型（含交互作用）

设因素 $A$ 有 $r$ 个水平，因素 $B$ 有 $s$ 个水平，每个组合有 $t$ 次重复：

$$X_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \varepsilon_{ijk}, \quad \varepsilon_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$$

这里讨论平衡的固定效应模型，$r,s\ge2$、每格重复数 $t\ge2$，各误差相互独立且共同方差 $\sigma^2>0$。其中 $\alpha_i$ 为 $A$ 的主效应，$\beta_j$ 为 $B$ 的主效应，$\gamma_{ij}$ 为交互效应；为保证参数可识别，约定

$$\sum_i\alpha_i=\sum_j\beta_j=0,\qquad\sum_i\gamma_{ij}=0\ (\forall j),\quad\sum_j\gamma_{ij}=0\ (\forall i).$$

假设检验

检验对象	原假设 $H_0$
因素 $A$	$\alpha_1 = \cdots = \alpha_r = 0$
因素 $B$	$\beta_1 = \cdots = \beta_s = 0$
交互作用	$\gamma_{ij} = 0$（对所有 $i, j$）

平方和分解

$$SST = SSA + SSB + SSAB + SSE$$

记 $\bar X_{ij\cdot}$ 为第 $(i,j)$ 格的均值，$\bar X_{i\cdot\cdot}$、$\bar X_{\cdot j\cdot}$ 为各因素水平的边际均值，$\bar X_{\cdot\cdot\cdot}$ 为总均值。则

$$SSA=st\sum_i(\bar X_{i\cdot\cdot}-\bar X_{\cdot\cdot\cdot})^2,$$

$$SSB=rt\sum_j(\bar X_{\cdot j\cdot}-\bar X_{\cdot\cdot\cdot})^2,$$

$$SSAB=t\sum_{i,j}(\bar X_{ij\cdot}-\bar X_{i\cdot\cdot}-\bar X_{\cdot j\cdot}+\bar X_{\cdot\cdot\cdot})^2,$$

$$SSE=\sum_{i,j,k}(X_{ijk}-\bar X_{ij\cdot})^2.$$

总平方和为 $SST=\sum_{i,j,k}(X_{ijk}-\bar X_{\cdot\cdot\cdot})^2$。

检验表

令 $MSE=SSE/[rs(t-1)]$。在相应原假设成立时，统计量服从表中的 F分布，均采用上尾概率 $\alpha$ 的临界值。

来源	自由度	检验统计量	原假设下的分布
A 主效应	$r-1$	$[SSA/(r-1)]/MSE$	$F(r-1,rs(t-1))$
B 主效应	$s-1$	$[SSB/(s-1)]/MSE$	$F(s-1,rs(t-1))$
交互作用	$(r-1)(s-1)$	$[SSAB/((r-1)(s-1))]/MSE$	$F((r-1)(s-1),rs(t-1))$
误差	$rs(t-1)$	—	—

$t=1$ 时误差自由度为零，不能按此表同时估计交互作用和误差。无重复设计需要额外的无交互作用假设或不同模型；不平衡设计也不能直接套用上述平方和。交互作用显著时，应结合简单效应解释主效应。

平衡设计的计算核对

取 $r=s=t=2$，各格的两次观测如下：

组合	观测	格均值
A₁B₁	1，3	2
A₁B₂	3，5	4
A₂B₁	5，7	6
A₂B₂	11，13	12

总均值为 $6$，A 边际均值为 $3,9$，B 边际均值为 $4,8$，四个交互偏差为 $1,-1,-1,1$。代入得到

$$SSA=72,\quad SSB=32,\quad SSAB=8,\quad SSE=8,\quad SST=120.$$

自由度为 $1,1,1,4$，总和为 $7$。$MSE=2$，故 $F_A=36$、$F_B=16$、$F_{AB}=4$，对应上尾 $p$ 约为 $0.00388,0.01613,0.11612$。

在单项 $\alpha=0.05$ 检验下，A、B 主效应显著，交互作用未达到显著水平；不能据此证明交互作用为零。本例每格仅两次重复，检验能力有限。A 从第一个水平到第二个水平的差异在 B₁ 为 $4$、B₂ 为 $8$，展示了交互作用所描述的“效应随另一因素水平改变”。若把多项结论作为一个检验族，还需考虑联合错误率。

实际分析先检查各格数据、残差散布和交互图。随机效应、混合效应、不平衡或缺格设计的检验分母及平方和定义可能改变，不能仅修改自由度后照搬本表。