双因素试验的方差分析

双因素试验的方差分析（Two-Way ANOVA）用于分析两个因素对响应变量的影响，并判断因素间是否存在交互作用，是单因素试验的方差分析向两个因素的推广。

数学模型（含交互作用）

设因素 $A$ 有 $r$ 个水平，因素 $B$ 有 $s$ 个水平，每个组合有 $t$ 次重复：

$$X_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} + \varepsilon_{ijk}, \quad \varepsilon_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$$

其中 $\alpha_i$ 为 $A$ 的主效应，$\beta_j$ 为 $B$ 的主效应，$\gamma_{ij}$ 为交互效应。

假设检验

检验对象	原假设 $H_0$
因素 $A$	$\alpha_1 = \cdots = \alpha_r = 0$
因素 $B$	$\beta_1 = \cdots = \beta_s = 0$
交互作用	$\gamma_{ij} = 0$（对所有 $i, j$）

平方和分解

$$SST = SSA + SSB + SSAB + SSE$$

各平方和对应不同来源的变异性，分别构造 $F$ 统计量进行检验，其统计量服从F分布。