总体与样本

总体、样本与抽样分布

总体分布描述单个观测 $X$ 的概率规律；简单随机样本 $X_1,\ldots,X_n$ 独立且服从该分布。由样本构造的统计量（如 $\bar X,S^2$）的分布称为抽样分布，三者不能混为一谈。

总体是否服从正态分布需要由模型与数据支持。中心极限定理讨论的是标准化样本和的极限分布，不能用它证明总体本身正态。

正态总体的样本均值

设 $X_i$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma>0$，则对任意 $n$ 都有

$$\bar X\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).$$

知道或不知道 $\sigma$ 都不会改变 $\bar X$ 的真实分布。

t 分布从哪里来

当 $\sigma$ 未知时，用样本标准差 $S$ 构造

$$T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1),\qquad n\ge2.$$

这里服从 t分布 的是标准化后的 $T$，不是 $\bar X$。正态样本保证 $\bar X$ 与 $S^2$ 独立，且 $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$，从而得到这一精确分布。随机分母引入额外不确定性，表现为更厚的尾部；自由度增大时，t 分布趋于标准正态分布。

非正态总体不能仅凭“小样本、方差未知”就套用精确 t 分布；独立同分布且有有限正方差时，大样本下可作渐近近似，精度仍取决于总体分布。

计算置信区间

以下为正态简单随机样本的精确区间。采用上尾临界值：$P(Z>z_\alpha)=\alpha$、$P(T_\nu>t_{\alpha,\nu})=\alpha$，置信水平为 $1-\alpha$。

• 总体均值的置信区间：
  • 当总体标准差已知时，使用正态分布：

    $$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

    其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的临界值。
  • 当总体标准差未知时，使用t分布：

    $$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

    其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本量，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是t分布的临界值，自由度为 $n-1$。

示例

假设从正态总体独立抽样得到一组数据，其样本均值 $\bar{x} = 50$，样本标准差 $s = 10$，样本容量 $n = 16$，要计算95%的置信区间。

1. 确定置信水平：95%的置信水平对应 $\alpha = 0.05$，所以查找t分布表得 $t_{\alpha/2, 15} = 2.131$（自由度为15）。
2. 计算置信区间：

   $$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, 15} \left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 50 \pm 2.131 \left(\frac{10}{\sqrt{16}}\right) = 50 \pm 2.131 \times 2.5 = 50 \pm 5.33$$

   即95%的置信区间为 $(44.67, 55.33)$。