高阶导数

定义

$y$ 的 $n$ 阶导数记作

$$y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n}$$

需要保证在 $x$ 点 $n$ 阶可导

常见无穷阶导数

$$\left[e^x\right]^{(n)}=e^x$$

$$\left[\sin(x)\right]^{(n)}=\sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$$

$$\left[\cos(x)\right]^{(n)}=\cos(x+n\cdot \frac{\pi}{2})$$

$$\left[\ln(1+x)\right]^{(n)}=(-1)^{n-1}\cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\quad(n\ge1,\ x>-1)$$

$$\left[x^a \right]^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1)\cdot x^{a-n}$$

上述幂函数公式适用于实数 $a$、正整数 $n$ 与 $x>0$。若 $a=m$ 是非负整数，则在整个实轴上按多项式求导；$n>m$ 时导数恒为零。

性质

线性性

若 $u,v$ 都有 $n$ 阶导数，则求导满足可加性，常数倍也可提出导数算子。

$$(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$$

莱布尼兹公式

$$(u\cdot v)^{(n)}=\displaystyle \sum^{n}_{k=0} C^k_n \cdot u^{(n-k)}\cdot v^{(k)}$$

$n=1$ 时: $(u\cdot v)^{(1)}=u'v+uv'$
$n=2$ 时: $(u\cdot v)^{(2)}=u''v+2u'v'+uv''$
$n=3$ 时: $(u\cdot v)^{(3)}=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv'''$