对数求导法

对数求导法

当函数形式为 $y=f(x)^{g(x)}$ (幂指函数) 或涉及多项的复杂乘积、商、根式时, 可使用对数求导法简化计算:

1. 在方程 $y=f(x)$ 两边同时取自然对数, 得到 $\ln y = \ln[f(x)]$.
2. 利用对数性质 (如 $\ln(a^b) = b \ln a$, $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$) 简化右侧表达式.
3. 将 $\ln y = g(x)$ (简化后的表达式) 视为隐函数, 两边同时对 $x$ 求导, 得到 $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = g'(x)$.
4. 解出 $\frac{dy}{dx} = y \cdot g'(x) = f(x) \cdot g'(x)$.

使用实对数时，写 $\ln y$ 要求 $y>0$；更一般地，在 $y\ne0$ 的区间可写 $\ln|y|$，仍有 $(\ln|y|)'=y'/y$。拆分乘积与商时相应使用各因子的绝对值。对任意实指数的幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$，通常要求 $u(x)>0$，且 $u,v$ 可导，此时

$$y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right).$$

零点处不能直接除以 $y$，应回到原式单独检查。