李群与李代数的对照

李群 $G$ 与李代数 $\mathfrak{g}$ 之间的关系、常见类型对照与应用。

关系

李代数 $\mathfrak{g}$ (切空间) 是一个向量空间, 而李群 $G$ 是一个弯曲的微分流形. 我们通过两个关键工具连接它们:

1. 指数映射 (Exponential Map): $\exp: \mathfrak{g} \to G$

   • 它将"无穷小变换"（代数）"积分"成了"全局变换"（群）。
   • 直观理解: 将"角速度"（代数元素 $A$）转换为"旋转角度"（群元素 $e^A$）。

2. 对易子 (Lie Bracket): $[A, B] = AB - BA$

   • 李代数 $\mathfrak{g}$ 上的"乘法"，即李括号。
   • 它衡量了两个无穷小变换 ($A$ 和 $B$) 的交换次序所产生的差异，这编码了李群 $G$ 的非交换 (非阿贝尔) 程度。

对照表

李群 (大写字母) 是矩阵概述群, 李代数 (小写哥特字母 $\mathfrak{g}$) 是其对应的矩阵代数.

名称	李代数 $\mathfrak{g}$	对应李群 $G$	定义条件 (代数 $\mathfrak{g}$)	李括号	几何或物理意义
广义线性	$\mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$	$GL(n,\mathbb{R})$	所有 $n\times n$ 实矩阵	$[A,B]=AB-BA$	最一般的李代数, 包含所有线性变换
特殊线性	$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{R})$	$SL(n,\mathbb{R})$	$\operatorname{Tr}(A)=0$	$[A,B]=AB-BA$	对应保持体积的变换 (行列式为 1)
正交 (旋转)	$\mathfrak{so}(n)$	$SO(n)$	$A + A^T = 0$ (反对称)	$[A,B]=AB-BA$	旋转群; 反对称矩阵生成空间旋转
特殊酉	$\mathfrak{su}(n)$	$SU(n)$	$A + A^\dagger = 0$, $\operatorname{Tr}(A)=0$	$[A,B]=AB-BA$	量子力学; 反厄米, 迹为零; 保持复内积和体积
海森堡	$\mathfrak{h}_n$	Heisenberg 群	$[p_i,q_j]=\delta_{ij}I$, 其余为 0	算符对易关系	量子力学位置-动量的非交换结构

应用

• --微分几何-- (联络与曲率)
• 机器人动力学 (使用 $SO(3)$ 和 $SE(3)$ 描述刚体姿态)
• 量子力学 (使用 $SU(n)$ 描述粒子对称性)