特殊正交矩阵

核心思想

特殊正交矩阵 $SO(n)$ 是定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上的"纯旋转" 矩阵集合.
它保持长度与方向不变, 即在欧几里得空间中代表旋转对称性.

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定义

一个 $n \times n$ 的实矩阵 $R$ 若满足:

1. 正交性 (Orthogonality):

   $$R^\mathsf{T} R = R R^\mathsf{T} = I$$

   这意味着 $R$ 保持内积:

   $$\langle R\mathbf{x}, R\mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$$

2. 特殊性 (Special):

   $$\det(R) = 1$$

   从而保证变换不包含反射 (只描述旋转) .
   所有满足上述条件的矩阵构成集合:

$$SO(n) = \{ R \in M_n(\mathbb{R}) \mid R^\mathsf{T}R = I,\ \det(R)=1 \}$$

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群性质

• 群运算: 矩阵乘法
• 闭包性: $R_1,R_2 \in SO(n) \Rightarrow R_1R_2 \in SO(n)$
• 单位元: 单位矩阵 $I \in SO(n)$
• 逆元: $R^{-1} = R^\mathsf{T} \in SO(n)$
• 李群结构: $SO(n)$ 既是群, 又是实流形, 其维度为 $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
  • 例如: $SO(2)$ 的维度为 1, $SO(3)$ 的维度为 3.

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几何意义

• $SO(2)$: 表示平面上绕原点的旋转

  $$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

• $SO(3)$: 表示三维空间绕某一轴的旋转.
  每个旋转可由单位向量 $\hat{n}$ 和角度 $\theta$ 表示:

  $$R(\hat{n},\theta) = e^{\theta [\hat{n}]_\times}$$

  其中 $[\hat{n}]_\times$ 是 $\hat{n}$ 对应的反对称矩阵 (旋转生成元) .
  这是 $SO(3)$ 李群与其李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 的连接.

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与 $SU(2)$ 的关系

$SO(3)$ 与 $SU(2)$ 之间存在一个非常重要的关系:
**$SU(2)$ 是 $SO(3)$ 的双覆盖群 (double cover) **.
换言之:

$$SU(2) / \{\pm I\} \cong SO(3)$$

含义:

• 每个三维空间旋转 ($SO(3)$ 的元素) 对应于 $SU(2)$ 中的两个矩阵 $U$ 与 $-U$.
• 在量子力学中, 自旋 1/2 粒子的态矢量受 $SU(2)$ 变换, 而其空间旋转对称性由 $SO(3)$ 描述.
• 这解释了"旋转 360° 自旋态不会恢复原状" 这一量子现象.
  从数学上讲:
• $\mathfrak{su}(2)$ 与 $\mathfrak{so}(3)$ 的李代数结构完全相同.
• 这两个群的局部结构一致, 但 $SU(2)$ 在拓扑上是单连通的, 而 $SO(3)$ 不是.

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相关概念

• 正交矩阵 $O(n)$:
  $O(n)$ 包含 $\det(R)=\pm1$ 的所有正交矩阵.
  其中 $\det=1$ 的部分构成 $SO(n)$.
  $\det=-1$ 则包含镜像反射.
• 李代数 $\mathfrak{so}(n)$:
  所有实反对称矩阵组成的向量空间:

  $$\mathfrak{so}(n) = \{ A \in M_n(\mathbb{R}) \mid A^\mathsf{T} = -A \}$$

  维度同样为 $n(n-1)/2$.

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小结

$SO(n)$ 是实空间的旋转群, $SU(n)$ 是复空间的"酉旋转群" .
两者在结构上相似, 但:

• $SO(n)$ 作用于 $\mathbb{R}^n$, 保持实内积;
• $SU(n)$ 作用于 $\mathbb{C}^n$, 保持复内积;
• $SU(2)$ 是 $SO(3)$ 的双覆盖, 这一事实在物理中揭示了空间旋转与量子自旋的统一几何本质.

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纪念

杨振宁先生于2025.10.18被传逝世. 此文为整理其理论工作的数学基础之一, 以此缅怀这位物理巨匠.