指数映射

定义

李群 $G$ 的李代数为 $\mathfrak{g}$.
指数映射定义为

$$\exp: \mathfrak{g} \to G, \quad \exp(A) = e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}.$$

它将李代数的"无穷小生成元" 映射为李群的"有限变换" .

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示例

• 对平移群 $(\mathbb{R},+)$:
  $\mathfrak{g} = \mathbb{R}$, $\exp(x)=x$.
• 对旋转群 $SO(2)$:
  $\mathfrak{so}(2)$ 中的矩阵
  $A=\begin{pmatrix}0&-\theta\\\theta&0\end{pmatrix}$,
  则 $\exp(A)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$.
• 对一般线性群 $GL(n)$:
  $\exp(A)$ 即矩阵指数.

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直观意义

• 在李代数中: $A$ 表示"瞬时速度" ;
• 通过 $\exp(A)$ 可得到李群中的"有限运动" ;
• 这是"从无穷小到有限" 的桥梁.

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与指数导数的联系

在 $\mathbb{R}$ 上的平移算符:

$$e^{t\frac{d}{dx}}f(x)=f(x+t)$$

正是指数映射的算符形式.