酉矩阵

酉矩阵$U(n)$是指满足下列条件的$n$阶复方阵：

$$U^\dagger U = UU^\dagger = I$$

其中，$U^\dagger$ 表示 $U$ 的共轭转置，$I$ 是单位矩阵。等价地，可以写作 $U^{-1} = U^\dagger$。

性质

酉矩阵是使复向量的长度(范数)保持不变的变换：

$$\|Ux\| = \|x\|, \quad \forall x \in \mathbb{C}^n.$$

因此：

• 若 $U$ 是酉矩阵，则 $U^{-1} = U^\dagger$；
• 若 $U$ 的列向量（或行向量）构成一组正交归一基，则 $U$ 必为酉矩阵；
• 所有酉矩阵的集合在矩阵乘法下构成一个李群，记作 $U(n)$。

酉(unitary)一词源自unit，这意味着酉矩阵在复空间中对应一种“等距旋转”或“复正交变换”，它不会改变几何结构，只改变方向与相位。

在实数域上，酉矩阵的对应概念是正交矩阵。它同样满足

$$Q^T Q = I, \quad \|Qx\| = \|x\|, \ \forall x \in \mathbb{R}^n,$$

表示保持长度与角度的等距变换。

应用

酉矩阵在理论物理与工程中非常重要：

• 量子力学：时间演化由酉算符生成，保证概率守恒。
• 信号处理：离散傅里叶变换 (DFT) 是典型的酉变换。
• 数值分析：酉矩阵可改善计算的稳定性。