矩阵的迹

简介

迹 (trace) 是定义在方阵上的一个标量函数, 表示矩阵对角线上元素的和.
它在线性代数, 李群李代数, 量子力学与张量分析中都有重要作用.
在李代数中, 迹常用作不变量, 例如在 $\mathfrak{su}(n)$ 中, 所有矩阵都满足 $\operatorname{tr}(A)=0$.

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定义

给定一个 $n\times n$ 方阵 $A=(a_{ij})$, 其迹定义为:

$$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}.$$

即矩阵主对角线元素之和.

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性质

1. 线性性

   $$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \quad \operatorname{tr}(cA)=c\,\operatorname{tr}(A)$$

2. 循环不变性
   对任意 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$:

   $$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$

3. 相似不变性
   对任意可逆矩阵 $P$:

   $$\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)$$

   因此迹只依赖于线性变换本身, 与坐标基选择无关.
4. 与特征值的关系
   若 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$, 则:

   $$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_i.$$

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几何与代数意义

• 在线性变换的角度, 迹是算子的"总伸缩量" ; 若 $\operatorname{tr}(A)=0$, 表示整体体积不变或纯旋转性质.
• 在李代数 $\mathfrak{su}(n)$, $\mathfrak{sl}(n)$ 中, 迹为零是定义条件之一, 对应"保持体积" 的群 ($SU(n), SL(n)$) .
• 在量子力学中, 迹用于定义密度矩阵与期望值: $\langle O \rangle = \operatorname{tr}(\rho O)$.

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向量的迹

向量本身没有迹的定义, 但若将其视作对角矩阵的对角线, 则可定义:

$$v=(v_1,\dots,v_n)\quad\Rightarrow\quad D=\operatorname{diag}(v_1,\dots,v_n),$$

于是:

$$\operatorname{tr}(D)=\sum_{i=1}^n v_i.$$

因此:

$$\operatorname{tr}(v)\equiv v_1+v_2+\cdots+v_n.$$

此解释在数值线代与张量符号计算中常用于统一处理.

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示例

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix},$$

则:

$$\operatorname{tr}(A)=1+4+6=11.$$

$$B=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix},$$

则 $\operatorname{tr}(B)=0$, 表明 $B\in\mathfrak{so}(2)$.

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总结

迹是衡量矩阵整体"自作用" 的算子不变量, 在代数, 几何与物理中都有深刻意义.

层次	对象	作用	示例
线性代数	矩阵 $A$	对角和	$\operatorname{tr}(A)=\sum a_{ii}$
李代数	$\mathfrak{su}(n),\mathfrak{sl}(n)$	迹为 0 的约束	$\operatorname{tr}(A)=0$
量子力学	密度矩阵 $\rho$	归一化条件	$\operatorname{tr}(\rho)=1$

因此, "迹" 不仅是计算工具, 更是线性算子在代数与物理对称性下保持不变的核心量.