李括号

李代数上的二元运算，度量两个元素"交换次序"的差异，刻画了相应李群的非交换性。

定义

设 $\mathfrak{g}$ 为李代数，李括号是双线性映射 $[\cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$，满足：

1. 反对称性：$[A, B] = -[B, A]$
2. Jacobi 恒等式：$[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0$

矩阵李代数中的李括号

当李代数由矩阵构成时，李括号即矩阵对易子：

$$[A, B] = AB - BA$$

例子

• $\mathfrak{gl}(n)$（全部 $n \times n$ 矩阵）：$[A,B] = AB - BA$
• $\mathfrak{so}(n)$（反对称矩阵）：$[A,B] = AB - BA$，封闭性由 $\operatorname{Tr}([A,B]) = 0$ 保证
• 微分流形上的向量场：$[X, Y] = XY - YX$ 作为作用于函数的微分算子

意义

• 若 $[A, B] = 0$，则 $\exp(A)\exp(B) = \exp(A+B)$（阿贝尔情形）
• 非零李括号编码了群元素乘法次序的不可交换性，如量子力学中位置-动量 $[x, p] = i\hbar$
• 李括号（对易子）结构确定李代数/李群的全部局部信息，见指数映射与李代数