持久同调

点云（高维数据的采样）没有天然的拓扑结构：它只是一堆离散点，而"形状"只在某个观察尺度上出现。持久同调 把每个点膨胀为半径 $\varepsilon$ 的球并让 $\varepsilon$ 连续增大，跟踪各维同调类（连通分支、环、空洞）的"出生—死亡"过程，从而把持久的拓扑特征与尺度噪声区分开。

需先掌握奇异同调（同调群的定义）与连通性（$H_0$ 的直观），并了解度量空间中的距离与Vietoris-Rips复形的过滤构造。

定义

给定滤过复形 $\{K_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{R}}$（$\alpha\le\beta$ 时 $K_\alpha\subseteq K_\beta$），嵌入 $K_\alpha\hookrightarrow K_\beta$ 诱导同调同态 $H_k(K_\alpha)\to H_k(K_\beta)$。一个 $k$ 维同调类在 $\alpha$ 出生（它不是任何更早类在 $H_k(K_\alpha)$ 中的像），在 $\beta$ 死亡（在 $H_k(K_\beta)$ 中变为零或被更早出生的类"吸收"，即进入像），记持久区间 $[\alpha,\beta)$。$k$ 维持久同调即这一族同调群连同诱导映射的全部信息，常用持久图或条形码汇总（见持久图）。

性质

• 持久同调是尺度化的拓扑不变量：只依赖过滤次序，连续形变下稳定
• 对过滤函数的扰动满足稳定性定理（见持久图），这是其抗噪能力的数学保证
• $H_0$ 记录连通分支的合并（elder rule：长者存活），$H_1$ 记录环，$H_2$ 记录空洞，依次类推

示例

• 正方形四顶点的 Vietoris–Rips 过滤（边长 1）：$\varepsilon<1$ 时无环；$1\le\varepsilon<\sqrt2$ 时四条边围成 $H_1$ 类；$\varepsilon\ge\sqrt2$ 时对角线加入、三角形填满，$H_1$ 死亡——持久区间 $[1,\sqrt2)$ 是"圆周"的签名
• 随机噪声点云：同调类几乎全部短命（贴近对角线的点），与真实特征区分明显

应用

持久同调是拓扑数据分析的核心，用于传感器网络、形状检索、蛋白质构象、材料微观结构等；与Mapper算法互补：前者测量特征显著性，后者给出数据整体形状。